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frank
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 13:42: | 
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Wie integriere ich :
(2-x)/(1+wurzel x) mit u = 1+ wurzel x
Das Ergebnis lautet nach Papula :
-(2/3)x*(wurzel x)+x+(2*wurzelx)-2*ln(1+wurzel x)
Ich kann den Weg der Lösung nicht nachvollziehen! |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 15:45: |
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wenn u=1+x^(1/2), dann ist x=(u-1)^2.
Aus (2-x)/(1+x^(1/2)) wird (2-(u-1)^2)/u = (2-u^2+2*u-1)/u
dx=2*(u-1)*du
int(2*(u-1)*(-u^2+2*u+1)/u*du)=int((-2*u^2+6*u-2-2/u)*du);
nach Summenregel ist dies zerlegbar:
int(-2*u^2*du)=-2/3*u^3=-2/3*(1+x^(1/2))^3=-2/3*x^(3/2)-2*x-2*x^(1/2)-2/3 +C1
int(6*u*du)=3*u^2=3*x+6*x^(1/2)+3 +C2
int(-2*du)=-2*u=-2*x^(1/2)-2 +C3
int(-2/u*du)=-2*ln|u|=-2*ln|1+x^(1/2)|=-2*ln(1+x^(1/2)) +C4
es bleibt follgendes übrig:
-2/3*x^(3/2) + x + 2*x^(1/2) + 1/3 - 2*ln(1+x^(1/2)) + C1 + C2 + C3 + C4
mit C1+C2+C3+C4+1/3=C ergibt sich obiger Ausdruck.(Das C wurde vergessen)
Derre |
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