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Susi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 20:05: | 
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Hallo!
Es wäre echt super wenn mir einer erklären könnte wie man die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Rotationsparaboloiden herleitet. Dass diese
O = 2*PI *int ( y* wurzel (1+(y')^2 dx ).
Baldige Antworten wären echt super. Ich muss nämlich bald ein Referat darüber halten! |
Peter Mathe
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 20:08: |
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HI Susi. Das einzig was ich weiß ist dass das irgendwie mit dem Satz von Guldini gehen muss.
Viel Glück weiterhin! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 23:24: |
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Hi Susi,
Wir nehmen die allgemeine Parabel mit der y-Achse als Achse,
dem Nullpunkt O als Scheitel S und dem Parameter p
(p ist der Abstand des Brennpunktes von der Leitgeraden
und somit der doppelte Abstand des Scheitels vom Brennpunkt.)
Die Gleichung dieser Parabel lautet:
y ^ 2 = 2 p x ......................................................................................(0)
Auf der Parabel wird der Punkt Z(u / v) ausgewählt;
Es gilt wegen der Parabelgleichung die Relation
v ^ 2 = 2 p u.........................................................................................(1)
Der Parabelbogen von S bis Z beschreibt bei der Rotation
um die x-Achse ein Paraboloid, dessen Mantelfläche A
wir berechnen wollen.
Als Resultat kommt:
A =
2 * PI / ( 3 * p ) * [ (p^2 + v^2) * wurzel (p ^ 2 + v^ 2 ) - p ^ 3]......( R )
Die Herleitung werde ich morgen nachliefern.
Nützlich für den geplanten Vortrag wäre auch, ein numerisches Beispiel
naher zu untersuchen und dabei A abzuschätzen, etwa mit
p = 4 , v = 3.
Für die vorgelegte Aufgabe wird man nicht die Guldinsche Regel
benützen; vielmehr käme diese zum Zuge , wenn nach dem
Schwerpunkt des Kurvenbogens OS gefragt wird.
Anmerkung
Paul Guldin (1577- 1643) , schweizerischer Mathematiker
aus St.Gallen (Taufname Habakuk), stellte die nach ihm
benannten Formeln zur Berechnung von Oberfläche und
Volumen eines Rotationskörpers auf, bei denen der chwerpunkt
einer Fläche bezw eines Bogens eine Rolle spielt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 23:32: |
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Hi Susi,
Eine kleine Korrektur ist fällig :
Die Parabelachse fällt mit der x-Achse ,
nicht mit der y-Achse zusammen !
Bis später !
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 10:21: |
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Hi Susi ,
Die Formel für die Mantelfläche des Rotationsparaboloides
soll nun hergeleitet werden.
Wir differenzieren die Gleichung y ^ 2 = 2 p x der Parabel
implizit nach x (beide Seiten der Gleichung nach x ableiten,
linke Seite mit Kettenregel); es kommt:
2 y y ' = 2 p , also:
y' = p / y ..............................................................................(2)
Für das Bogenelement ds erhalten wir die Beziehungen:
(ds) ^ 2 = (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2
[ds / dx ] ^ 2 = 1 + (dy / dx ) ^ 2 = 1 + (y' ) ^ 2
= 1 + p ^ 2 / y ^ 2 , also
ds / dx = 1 / y * wurzel ( p ^ 2 + 2 p x )
oder mit y^2 = 2px: und bruchfrei:
y * ds = = wurzel ( p ^ 2 + 2 p x ) * dx..................................(3)
Wir führen nun folgende Substitution durch:
p ^ 2 + 2 p x = z ^ 2...............................................................(4)
Ableiten nach x ergibt eine Beziehung für die Differentiale
dx und dz, nämlich:
2 p d x = 2 z dz oder p dx = z dz.....................................(5)
Aus (3) wird dann:
y * ds = z* dx = 1 / p * z ^ 2 * dz..........................................(6)
Für die Fläche A setzen wir zunächst das unbestimmte Integral an:
J = 2*Pi*int[ y*ds] = 2 * Pi / p * int[z^2 * dz ] =
= 2 Pi / (3 p) * z ^ 3 ; Substitution rückgängig gemacht:
J = 2 Pi / (3 p) * (p^2 + 2px) ^ (3/2)
einsetzen der Grenzen: untere Grenze x = 0, obere Grenze x = u
ergibt A
A = 2 Pi / (3 p ) * [(p^2 + v^2) ^ (3/2) - p ^ 3 ]
Beachte : Da der Punkt Z(u/v) auf der Parabel y^2 = 2p x liegt
gilt die Relation v ^ 2 = 2 p u; dies wurde beim Einsetzen der
oberen Grenze x = u benützt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 11:47: |
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Hi Susi,
Zum Abschluss bearbeiten wir ein instruktives
numerisches Beispiel:
p = 4 , v = 3.
Aus der Parabelgleichung y ^ 2 = 2 p x, also y^2 = 8x
berechnen wir aus y = v = 3 :
x = u = 9/8.
Der Endpunkt Z des Parabelbogens hat demnach die Koordinaten
Z(9/8 ; 3)
Mit der Formel für die Mantelfläche des Rotationsparaboloides
erhalten wir
A = 2*Pi / 12 * [(16+9) wurzel(16 + 9) - 64] = Pi/6 * 61 ~ 31.94
Wir vergleichen diese Fläche A mit der Mantelfläche M
des Kreiskegels, der durch Rotation der Strecke OZ um die x-Achse
entsteht.
Für M gilt die Formel
M = Pi * r * s, mit r = v = 3 (Radius des Kegels)
s = Länge der Strecke OS (Mantellinie des Kegels);
s = wurzel ( u^2 + v^2 ) = 1/8 * wurzel (657)
Somit
M= 3 * Pi / 8 * wurzel(657) ~ 30,192 ,
wie es sein muss: M ~ A, aber M < A.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Susi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 17:16: |
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Hi H.R.Moser, megamath!
Vielen Dank für die Bemühungen. Ich weiß das wirklich sehr zu schätzen.
Leider sind mir noch einige Stellen bei deiner Erklärung unklar.
1) Was bedeutet implizit differenzieren um warum entsteht dabei aus y^2 > 2yy' ?
2) Wie kommt man von Gleichung 4 auf Gleichung 5 und was bedeutet der Satz "Ableiten nach x ergibt eine Beziehung für die Differentiale dx und dz, nämlich:
2pdx = 2zdz ?
3) Warum setzt man für die Fläche A das unbestimmte Integral J=2Pi*int [y*ds] ?
Was bedeutet in der Anschauung das Integrieren von y nach ds ?
Warum kann ich eigentlich für die Fläche nicht das Integral I = 2Pi*int[y*dx] setzen?
Anschaulich würde das meiner Meinung nach doch bedeuten, dass ich einfach den Umfang des Paraboloid an jeder Stelle berechne und mir dann die Gesamtheit aller Umfänge von z.B. Punkt O bis Punkt x=5 die Mantelfläche ergibt? Warum geht das nicht? Ich zerbreche mir jetzt schon 2 Stunden den Kopf darüber!
Vielen, vielen Dank für die Geduld. Wäre echt super, wenn du mir nochmal weiterhelfen könntest! |
Peter Mathe
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 17:28: |
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Hi ihr da!
Sorry, das ich mich in euere Diskussion einfach einmische, aber ich hätte in diesem Zusammenhang weil es gerade so gut passt auch eine Frage!
Könntet Ihr mir sagen, wie ich den Oberflächeninhalt mit Hilfe der Guldinischen Formel berechnen kann, wenn nach dem Schwerpunkt des Bogenstücks gefragt wird.
Laut Formelsammlung beträgt die y-Koordinate des Schwerpunkts eines Bogenstücks s*y = int[f(x)*wurzel(1+f(x)^2]dx
Warum?????
Darüberhinaus habe ich in einem Buch folgende Sätze zur Berechnung der Mantelfäche gefunden:
Ersetzt man zunächst die Kurve durch ein einbeschriebenes Polygon, so entsteht an Stelle der krummen Fläche ein Gebilde, das aus einer Anzahl schmaler Kreiskegelstümpfe zusammengesetzt ist. Der Flächeninhalt des Mantels eines solchen Kegelstumpfes ist aber bekanntlich gleich der Länge der Seitenlinie, multipliziert mit dem Umfang des mittleren Kreisquerschnittes. Addiert man allle diese Ausdrücke und führt dann den Grenzübergang von dem Polygon zur Kurve aus, so erhält man als Flächeninhalt den Ausdruck
O = 2PI*int[y*wurzel(1+y'^2)dx] = 2PI*int [yds]
Man kann dieses Resultat in Worten dahin aussprechen, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche gleich der Länge der kurve multipliziert mit dem Wege des Schwerpunkts der KUrve ist ( Guldinsche Regel)
Kann mir jemand das einmal anschaulich übersetzten und einen solchen Grenzwertprozess an
einem Beispiel verdeutlichen?
Vielen Dank! Mir ist das wirklich sehr wichtig! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 20:18: |
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Hi Susi,
Es folgen einige Ergänzungen und Präzisierungen
zu meiner vorausgegangenen Arbeit und Antworten
auf Deine Fragen
ad 1)
"explizit" bedeutet "nach y aufgelöst"
in unserem Fall also:
y = wurzel( 2 p x )
Daraus findet man als Ableitung y'
mit der Kettenregel und der Ableitungsregel für
Quadratwurzeln:
y' = 2*p / [2*wurzel(2px)]= p / y , wie vordem.
"implizit" bedeutet: die Relation in x und y ist nicht
nach y aufgelöst;
trotzdem können wir y' bestimmen, eben durch das
sogenannte implizite Differenzieren:
Bei y^2 = 2px leiten wir beide Seiten nach x ab,
die linke Seite gemäss Kettenregel: äussere Funktion
ist das Quadrat, die innere y = y(x);
die Ableitung der linken Seite ist also
2 y * y ' (x)
2y als Ableitung des Quadrates y^2 , y' als Ableitung
von y nach x.
ad 2)
Herleitung meiner Gleichung 5) aus 4)
Aus p^2 + 2px = z^2 berechnet man x = 1 / (2p) * z ^ 2 - p/2
Diese Gleichung wir beiderseits nach der neuen Variablen z
abgeleitet; es kommt:
dx/dz =1/p * z ; beachte : p ist eine Konstante.
dx und dz sind Differentiale ;
Du darfst sie als Einzelterme behandeln und insbesondere
obigen Bruch wegschaffen; Ergebnis: p dx = z dz.
Ich habe in der Arbeit die Angelegenheit etwas professionell
erledigt
(dies segelt unter dem Namen déformation professionnelle !)
ad 3)
Wenn bestimmte Integrale zu berechnen sind,
berechnet man oft mit Vorteil zuerst das unbestimmte.,
selbst dann, wenn eine Substitution ausgeführt werden muss.
Die Grenzen des bestimmten Integrals setzt man ganz am
Schluss ein; dadurch umgeht man allfällige Schwierigkeiten
bei der Transformation der Grenzen .
ad 4)
Man muss int [y ds] setzen, nicht int [y dx]
Auch der Integrand des ersten Integrals lässt
sich als Funktion in x darstellen,
wie wir soeben bei unserem Beispiel gezeigt haben.
Warum gerade dieses Integral bei der
Oberflächenberechnung zum Zuge kommt ,
kann in den Lehrbüchern nachgelesen werden.
Hier nur soviel:
Die Angelegenheit hängt mit einem Kegelstumpfmantel
zusammen:
das Flächenelement y*ds ensteht aus der Mantelfläche
eines Kegelstumpfes: M = Pi * ( y + y1) * delta s
(s:Bogenlänge),welcher bei der nötigen Grenzbetrachtung
y 1 strebt gegen y in das Oberflächenelement
d A= 2* Pi * y * ds übergeht (ds:Differential der Bogenlänge).,
welches dann integriert werden muss.
Das alles sollte ein wenig weiterhelfen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Susi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 22:55: |
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Sorry, dass ich nochmal nerve.
Das ist mir jetzt erst aufgefallen:
Warum kannst du für das Bogenelement ds einfach die Beziehung
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 setzen?
Leider habe ich kein geeignetes Lehrbuch auf die Schnelle zur Hand. Macht es dir viel Umstände, wenn du mir den Text aus einem solchen Lehrbuch zu meiner Fragestellung wiedergibst?
Ich hoffe, du kannst nocheinmal - diesmal hoffentlich das letztemal - etwas Geduld und Mühe für mich arme Schülerin aufbringen. Das wäre echt klasse!
Vielen Dank und beste Grüße, Susi! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 15:22: |
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Hi Susi,
Deine letzte Frage bezieht sich auf das Thema
"Berechnung der Bogenlänge einer Kurve".
Die Formel (ds)^2 =(dx)^2 + (dy)^2 ist die
differentielle Schreibweise für die Beziehung
(delta s) ^ 2 = (delta x) ^ 2 + (delta y )^ 2 ,
welche nach Pythagoras zwischen der Länge delta s
der Kurvensehne P(k-1)P(k) zwischen den
Kurvenpunkten P(k-1),P(k) und den zugehörigen
Koordinatendifferenzen (delta x) = x(k) - x(k-1)
und (delta y) = y(k)-y(k-1) besteht, wenn der
Kurvenbogen zwischen den Punkten A und B
mittels der Zwischenpunkte P(1), P(2)..P(k-1),P(k)...P(n)
durch einen Sehnenzug approximiert wird .
Näheres findest Du in Lehrbüchern der Analysis.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Susi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 13:33: |
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Hi H.R.Moser, megamath.
Allerletzte Frage:
Was bedeutet eigentlich Differential?
z.B. dy
Kann man das auch graphisch veranschaulichen?
Vielen Dank, Susi! |
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