| Autor |
Beitrag |
    
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 13:40: | 
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Hallo,
ich hatte diese Aufgabe schon vor ein paar Tagen vorgebracht.
Leider hat Thomas die Aufgabe jetzt wahrscheinlich aus den Augen verloren.
Es wäre nett, wenn sich nocheinmal jemand meinem Problem annehmen könnte.
Vielen Dank.
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Lösen Sie das folgende Problem, das von Leonardo Fibonacci aus Pisa (um 1200) stammt.
Stellen Sie dazu ein LGS auf uns lösen Sie es!
Sie finden eine Geldbörse, die 22 Geldstücke enthält. Deren Betrag vergleichen Sie mit dem Vermögen x1, x2, x3, x4 von 4 Personen. Dabei stellen Sie fest, daß der Besitz von Person 1, addiert zu dem gefunden Betrag, das Doppelte des Vermögens von Person 2 und Person 3 zusammen ergibt. Analog ergeben die 22 Geldstücke zusammen mit dem Besitz von Person 2 das Dreifache des gemeinsamen Besitzes der Person 3 und 4, addiert zu dem Besitz von Person 3 das Viefache des gemeinsamen Vermögens der Personen 1 und 4, sowie addiert zu dem Besitz von Person 4 erhalten Sie das fünffache des Vermögens der Personen 1 und 2 zusammengenommen.
Zeigen Sie, daß diese Aufgabe (unabhängig von dem gefunden Geldbetrag) nur eine Lösung hat, wenn eine der Personen Schulden hat. Wie sind die Vermögensverhältnisse der 4 Personen?
Die Gleichungen lauten folgendermassen:
x1 + 22 = 2*(x2+x3)
x2 + 22 = 3*(x3+x4)
x3 + 22 = 4*(x1+x4)
x4 + 22 = 5 (x1+x2)
Da meine Schulzeit schon ein paar Jahre zurückliegt, habe ich Probleme mit dem elemenieren der Variablen nach dem Gauss System.
Sind folgende Lösungsansätze richtig?
Zuerst einmal habe ich die Klammer aufgelöst:
x1 + 22 = 2 * x2 + 2 * x3 | -x1
x2 + 22 = 3 * x3 + 3 * x4 | -x2
x3 + 22 = 4 * x1 + 4 * x4 | -x3
x4 + 22 = 5 * x1 + 5 * x2 | -x4
2 * x2 + 2 * x3 + 1 * -x1 = 22
3 * x3 + 3 * x4 + 1 * -x2 = 22
4 * x1 + 4 * x4 + 1 * -x3 = 22
5 * x1 + 5 * x2 + 1 * -x4 = 22
Aufräumen:
1 * -x1 + 2 * x2 + 2 * x3 + 0 * x4 = 22
0 * x1 + 1 * -x2 + 3 * x3 + 3 * x4 = 22
4 * x1 + 0 * x2 + 1 * -x3 + 4 * x4 = 22
5 * x1 + 5 * x2 + 0 * x3 + 1 * -x4 = 22
Matrix:
-1 2 2 0 = 22
0 -1 3 3 = 22
4 0 -1 4 = 22
5 5 0 -1 = 22
Ist das soweit in Ordnung?
Kann ich jetzt folgendermassen weitermachen?
1 -2 -2 0 = 22
0 -1 3 3 = 22
0 -8 7 0 = -66
0 15 10 -1 = -88
1 -2 -2 0 = 22
0 1 -3 -3 = -22
0 0 31 24 = 110
0 0 -35 -46 =-418
Ich glaube nicht, dass es bis hierher überhaupt richtig ist, und weiss auch nicht mehr weiter.
In den Büchern kann ich auch nichts passendes finden!
Danke für die Mühe!
Gruss
Frank |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 19:43: |
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Hallo Frank,
Deine Ausgangsmatrix ist richtig.
Um sie zu reduzieren ist eine ziemliche Arbeit. Ich habe dies mal meinem Computer überlassen.
Du kannst daraus aber die einzelnen Schritte bis zum Ergebnis ersehen:
> restart:with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
Die Ausgangsmatrix wird nach dem Gauß-Verfahren reduziert:
M2:= mulrow(M1,2,-1) bedeutet: Nimm Matrix M1, multipliziere Zeile 2 mit -1 und nenne das Ergebnis Matrix M2.
M3:= addrow(M2,1,3,-4) bedeutet: Nimm Matrix M2, ersetze Zeile 3 durch ( Zeile 1 multipliziert mit -4 plus Zeile 3)
usw.
> M:=matrix(4,5,[-1,2,2,0,22,0,-1,3,3,22,4,0,-1,4,22,5,5,0,-1,22]);
[-1 2 2 0 22]
[ ]
[ 0 -1 3 3 22]
M := [ ]
[ 4 0 -1 4 22]
[ ]
[ 5 5 0 -1 22]
> M1:=mulrow(M,1,-1);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 -1 3 3 22]
M1 := [ ]
[4 0 -1 4 22]
[ ]
[5 5 0 -1 22]
> M2:=mulrow(M1,2,-1);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
M2 := [ ]
[4 0 -1 4 22]
[ ]
[5 5 0 -1 22]
> M3:=addrow(M2,1,3,-4);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
M3 := [ ]
[0 8 7 4 110]
[ ]
[5 5 0 -1 22]
> M4:=addrow(M3,1,4,-5);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
M4 := [ ]
[0 8 7 4 110]
[ ]
[0 15 10 -1 132]
> M4:=addrow(M4,2,3,-8);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
M4 := [ ]
[0 0 31 28 286]
[ ]
[0 15 10 -1 132]
> M5:=addrow(M4,2,4,-15);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
M5 := [ ]
[0 0 31 28 286]
[ ]
[0 0 55 44 462]
> M6:=mulrow(M5,3,1/31);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
[ ]
M6 := [ 28 286]
[0 0 1 -- ---]
[ 31 31 ]
[ ]
[0 0 55 44 462]
> M7:=addrow(M6,3,4,-55);
[1 -2 -2 0 -22 ]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22 ]
[ ]
[ 28 286 ]
M7 := [0 0 1 -- --- ]
[ 31 31 ]
[ ]
[ -176 -1408]
[0 0 0 ---- -----]
[ 31 31 ]
> M8:=mulrow(M7,4,-31/176);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
[ ]
M8 := [ 28 286]
[0 0 1 -- ---]
[ 31 31 ]
[ ]
[0 0 0 1 8 ]
Jetzt zurück:
> M9:=addrow(M8,4,3,-28/31);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 -3 -22]
M9 := [ ]
[0 0 1 0 2]
[ ]
[0 0 0 1 8]
> M10:=addrow(M9,4,2,3);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 -3 0 2]
M10 := [ ]
[0 0 1 0 2]
[ ]
[0 0 0 1 8]
> M11:=addrow(M10,3,2,3);
[1 -2 -2 0 -22]
[ ]
[0 1 0 0 8]
M11 := [ ]
[0 0 1 0 2]
[ ]
[0 0 0 1 8]
> M12:=addrow(M11,3,1,2);
[1 -2 0 0 -18]
[ ]
[0 1 0 0 8]
M12 := [ ]
[0 0 1 0 2]
[ ]
[0 0 0 1 8]
> M13:=addrow(M12,2,1,2);
[1 0 0 0 -2]
[ ]
[0 1 0 0 8]
M13 := [ ]
[0 0 1 0 2]
[ ]
[0 0 0 1 8]
Ergebnisse lassen sich nun ablesen:
x1= -2
x2= 8
x3= 2
x4= 8
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Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 07:01: |
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Vielen Dank für Deine Mühe.
Gruss und einen guten Rutsch wünscht
Frank |
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 13:38: |
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Hallo Fern,
ich habe noch eine Frage:
Wie kann der Zweite Teil der Aufgabe beantwortet werden?
Zeigen Sie, daß diese Aufgabe (unabhängig von dem gefunden Geldbetrag) nur eine Lösung hat, wenn eine der Personen Schulden hat. Wie sind die Vermögensverhältnisse der 4 Personen?
Vielen Dank.
Gruss
Frank |
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