| Autor |
Beitrag |
    
anlyn (Daydream)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 11:14: | 
|
Bestimme eine Gleichung der Ebene durch A(2/3/4) und B(6/5/16), welche vom Ursprung den Abstand 2 hat. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 07:44: |
|
Hi ,
Die gesuchte Ebene geht durch die Gerade g = AB und berührt
die Kugel mit Mittelpunkt im Nullpunkt, Radius 2.
Die Gleichung dieser Kugel lautet
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4.;
x1 * x + y1 * y + z1 * z = 4 ist die Gleichung einer
Tangentialebene T der Kugel mit dem Punkt P1 (x1 /y1 /z1)
als Berührungspunkt.
Für die Koordinaten x1,y1,z1 können wir drei Gleichungen
aufstellen:
A( 2 / 3 / 4 ) liegt auf T:
2 * x1 + 3 * y1 + 4 * z1 = 4......................................................(1)
B( 6 / 5 / 16 ) liegt auf T:
6 * x1 + 5 * y1 + 16 * z1 = 4......................................................(2)
P ( x1 / y1 / z1 ) liegt auf der Kugel
x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2 = 4 ........................................................(3)
Bei der Auflösung dieses Systems nach x1,y1,z1 lassen wir
die Indizes weg.
Zunächst drücken wir x und y je durch z aus
(1) multiplizieren wir mit 3 und subtrahieren vom Ergebnis (2)
Resultat:
y = z + 2...........................................................................................(I)
Dies setzen wir in (1) ein und lösen nach x auf; Ergebnis
x = - 1 - 7 / 2 * z ...........................................................................(II)
Nun setzen wir (I) und (II) in (3) ein ; es kommt nach ausgiebiger
Vereinfachung die quadratische Gleichung in z:
57 * z ^ 2 + 44 z + 4 = 0 mit den Lösungen
z' = - 2 / 19 , z '' = - 2 / 3
1.Fall
z = z1 = z' = - 2 / 19 ,daraus mit (I) und (II):
x1 = - 12 / 19, y1 = 36 / 19
Eingesetzt in die allgemeine Gleichung der Tangentialebene T
ergibt eine erste Ebenengleichung T1:
-12 / 19 * x + 36 / 19 3 y - 2 / 19 * z = 4 oder:
- 6 x + 18 y - z = 38
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Fall
z = z1 = z '' = - 2/3 , daraus:
x1 = 4 / 3 , y1 = 4 / 3
zweite Ebenengleichung T2:
4/3 * x + 4/3 * y - 2 / 3 * z = 4 oder
2 * x + 2 * y - z = 6
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Man kann eine nützliche Kontrolle durchführen:
1.Einsetzen der Koordinaten von A und B in die Ebenengleichung
2.Berechnung des Abstandes des Nullpunktes O(0/0/0) von T
mit Hesse.
Diese Tests fallen alle positiv aus !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
|
