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Beitrag |
    
Lee
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 21:36: | 
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Wär hilft mir. Ich habe keine Peilung.
Gegeben A(3/4/-1),B(5/5/0),C(1/5/2/)
a)Ergänze zum Parallelogramm ABCD
b)T teilt die Strecke AB im Verhältnis 1:3.Bestimme Koordinaten von T.
c)Berechne,wo die Gerade A und B die x-z- Ebene schneidet.
d)Gegeben sei der Punkt S(k^2/4,5/0). Wie muss man k wählen, damit S mit den Punkten A,B und C in einer Ebene liegt. Liegt der Punkt dann im Inneren des Dreiecks ABC. Wenn ja,wie kann man dies begründen? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 08:13: |
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Hi Lee,
a) Die Strecken AC und BD haben denselben Mittelpunkt M.
(M: Mittelpunkt des Parallelogramms)
Die Koordinaten des Mittelpunktes ergeben sich der Reihe
nach als arithmetische Mittel der Koordinaten der Endpunkte.
Mittelpunkt von AC:
xM= ½ *(3+1) = 2, yM = ½ *(4+5) = 9/2,zM = ½ *(-1+2)=1/2
Der Mittelpunkt von BD hat dieselben Koordinaten, daher
xD=2*xM - xB = -1, yD=2*yM -yB=4 , zD=2*zM -zB= 1;
D(-1/4/1)
b) Richtungsvektor u =AB = {2;1;1}, daraus Parametergleichung
der Geraden AB:
x = 3 + 2 t , y = 4 + t , z = - 1 + t.
Teilung der Strecke AB innen im Verhältnis 1 : 3 bedeutet
Die Länge der Strecke AT ist ¼ der Länge der Strecke AB,
somit ist in obiger Gleichung t = 174 zu setzen, damit wir
die Koordinaten von T erhalten ; Ergebnis:
xT = 7/2, yT = 17/4, zT = - ¾
c) Um den Schnittpunkt U der Geraden g = AB mit der (x,z) -Ebene
zu erhalten, setzen wir in ihrer Parameterdarstellung aus b)
y = 0 ; dies führt auf den Parameterwert t = - 4.
Damit erhalten wir für die beiden anderen Koordinaten von U:
xU = -5, zU = -5, also U( -5 / 0 / -5 ) .
d) Wir ermitteln die Gleichung der Ebene E ,welche durch die
Punkte A,B,C bestimmt ist.
Diese Gleichung lautet (Herleitung später):
x - 4 y + 2 z = - 15. In diese Gleichung setzen wir die
Koordinaten von S ein ;dies ergibt eine Gleichung für k:
k^2 - 18 = -15 oder k^2 = 3, also S( 3 / 4.5 / 0 )
Ergänzungen folgen
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 12:58: |
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Hi Lee ,
Wir prüfen nun, ob der Punkt S (3 / 4.5 / 0 ) im Inneren
des Dreiecks ABC liegt oder nicht.
Wir ermitteln dazu den Schnittpunkt Z der
Verbindungsgeraden z der Punktes C und S mit der
Geraden c = AB
Gleichung von c mit Parameter t (siehe Teilaufgabe b):
x = 3 + 2 t , y = 4 + t , z = - 1 + t.
Gleichung von z ( Richtungsvektor {2;-0.5,-2})
mit Parameter s :
x = 1 + 2 s , y = 5 - 0.5 s , z = 2 - 2 s
Die Koordinaten werden paarweise gleichgesetzt
Da die beiden Geraden in der gleichen Ebene E liegen,
schneiden sie sich und das Gleichungssystem hat eine
eindeutige Lösung in s und t, nämlich :
t =1/3 , s = 4/3,daraus
xZ = 11 / 3, yZ = 13 / 3, zZ = - 2 / 3
Kommentar:
0<t<1 bedeutet: Z liegt zwischen A und B
s>1 bedeutet: Z liegt (von C aus gesehen) jenseits S,
d.h. S liegt zwischen C und Z und damit im Inneren
des Dreiecks ABC.
Anhang
Herleitung der Ebenengleichung für E mittels Vektorprodukt
Vektoren u = AB = {2;1;1} , v = AC ={-2;1;3}
Vektorprodukt n = u x v ={ 2; -8; 4 }=2* {1 ; - 4 ; 2 }
ergibt einen Normalenvektor von E.
Ansatz für eine Koordinatengleichung für E:
x - 4 y + 2 z = d
E durch A:, daraus d = - 15.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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