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anlyn (Daydream)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 18:37: | 
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welchen Abstend hat der Punkt von der Ebene E?
P(4/4/-4)
E= (ABC) A(1/2/6), B(3/3/15), C(4/5/11) |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 21:29: |
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Hallo anlyn,
dein Problem ist einfach und läßt sich mithilfe der HESSESCHEN NORMALENFORM für eine Ebenengleichung lösen.
Zunächst suchen wir einen Normalenvektor für die Ebene E, also konkret einen Vektor n, für den gilt
n * AC = 0 und n * AB = 0 (A)
AC und AB sind also die Richtungsvektoren der Ebene E mit
AC =(3/3/5) und AB = (2/1/9)
Nach Forderung (A) müssen wir ein LGS der Form
3x1 + 3x2 + 5x3 = 0 (1)
2x1 + 1x2 + 9x3 = 0 (2)
lösen. Wegen Rg A < n = 3 (die Anzahl der Variablen ist 3) ist das LGS mehrdeutig lösbar. Auflösen mithilfe des Gauß´schen Algorithmus liefert bei x3 = t
(eine Variable ist also frei wählbar!) dann den Normalenvektor n
n = t*[ (-22/3) / (17/3) / 1 ] und eine schönere Lösung ergibt sich beim Vielfachen von n mit t = 3:
n = ( -22 / 17 / 3 )
Damit können wir die HNF bilden, also
(x-A) * n = 0 , dabei sei A der Aufpunkt der Ebene E. Den Abstand erhalten wir dann durch die Formel
(P-A) * n * (1/|n|) = d
Der Term n * (1/|n|) stellt einen sog. Normaleneinheitvektor dar, einen Vektor, der die Länge (den Betrag...) 1 hat.
(P-A) = ( 3 / 2 / -10) und |n| = 27,9642
und (P-A) * n = -62, also erhalten wir für den Abstand d
d = (-62/27,9642) = - 2,2171155 LE
Die Negativität des Abstandes läßt sich dadurch begründen, dass der Punkt P zusammen mit dem Ursprung O = (0/0/0) in einer Halbebene liegt. Der Vektor von E aus in Richtung von P liegt also in der entgegengesetzten Richtung von n, der immer vom Ursprung wegweist!
Ich hoffe ich konnte Dir weiterhelfen. Ich habe mal unterstellt, das Dir entsprechendes Material über die Hessesche Normalenform HNF, sowie den Betrag eines Vektors vorliegt. Bei Bedarf frage einfach nochmal nach!
Viele Grüße!
 Oliver |
anlyn (Daydream)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 11:11: |
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Dankeschön Oliver:-)) |
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