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Beitrag |
    
Anuschka
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 17:48: | 
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Ich suche die Lösung für:
z³-(1-i)z²+5(3+2i)z+3(7-3i)=0
wobei man weiß, daß eine imaginäre Lösung existiert. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 21:56: |
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Saljut Anuschka,
Da wir bereits wissen, dass die Gleichung eine rein imaginäre
Lösung hat, gehen wir mit dem Ansatz z = a* i in die Gleichung
hinein und setzen dabei voraus, dass a eine reelle Zahl darstellt.
Diese Rechnung geht so:
- a ^ 3* i - (1-i ) * (-a ^ 2 ) +5* ( 3+2i )* a* i +21 - 9 * i = 0
Die Trennung von Realteil und Imaginärteil ergibt die
komplexe Gleichung
[a^2 - 10*a+21] + i* [-a^3 - a^2 +15*a -9] = 0
Jede der eckigen Klammern muss für eine geeignete Wahl von a null sein
Wir setzen die zweite Klammer null und erhalten:
a1 = 3 und a2 = 7.
Nur die Lösung a = 3 macht auch die zweite Klammer zu null.
Also setzen wir definitiv als erste Lösung der gegebenen
komplexen Gleichung:
z1 = 3*i
Es gilt nun "nur" noch, die beiden anderen Lösungen zu bestimmen;
ich kenne sie, verrate sie jedoch (vorläufig) nicht!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Anuschka
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 11:01: |
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Vielen Dank H.R.Moser,megamath!
Ich habe durch z-3i dividiert und
z^2+(-1+4i)z+3+7i=0 erhalten.
Daraus die Lösungen
z2=2-5i
z3=-1+i
Schwierig war die Wurzel aus (-27-36i) zu ziehen.
Ergebnis: 3-6i
Ich habe es über die Exponentialform herausgefunden. Gibt es dafür einen einfacheren Weg?
Schöne Weihnachtsgrüße, Anuschka |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 14:26: |
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Hi Anuschka,
Für Dich ein ganz grosses Kompliment meinerseits
Deine Resultate sind alle richtig! BRAVO !
Spätestens heute wäre ich auch mit meinen Ergebnissen
herausgerückt.
Gleichwohl seien noch ein paar Bemerkungen angefügt.
1.)
In meiner vorhergehenden Arbeit hat sich ein kleiner Fehler
eingeschlichen, der aber keine Konsequenzen hatte.
Es muss richtig heissen :"Nur die Lösung a = 3 macht auch die
ERSTE Klammer zu null" .
2)
Zu Deiner Frage mit der Wurzel.
Ich empfehle, Quadratwurzeln im Komplexen folgendermassen
zu ziehen:
Ansatz: wurzel (-27-36 i ) = a + i b, ( a und b reell )
Quadrieren und Real- und Imaginärteil säuberlich trennen
-27 - 36 i = a^2 - b^2 + i 2 a b
Vergleich:
-27 = a^2 - b^2
-36 = 2 a b
Dies ist ein quadratisches Gleichungssystem in zwei Variablen a, b
Auflösung:
b = -18 / a , eingesetzt in die erste Gleichung liefert
a^2 - 324 / a^2 = - 27
Wir erhalten die biquadratische Gleichung
a^4 + 27 a^2 - 324 = 0
Daraus a^2 = ½ [-27 + wurzel (2025)] = 9
(ein negativer Wert für a^2 kommt nicht in Frage !)
Also gilt a = 3, daraus b = - 6, als zweite Lösung a = -3, b = 6
Das stimmt mit Deinen Angaben völlig überein !
3)
Ich hatte dieses Problem frühzeitig erkannt und versucht,
die Klippe mit der Quadratwurzel zu umsegeln.
Dabei kam ich gross in Fahrt bei günstigen Winden.
Pro memoria
Wir suchen die Lösungen der quadratischen Gleichung
z ^ 2 + p z + q = 0 mit p = - 1 + 4i , q = 3+7i .
Für eine Lösung z mache ich den Ansatz
z = u + iv ( u , v reell) und setze dies in die Gleichung ein.
Es kommt:
u ^ 2 - v ^ 2 + 2 i u v + (-1 + 4i) (u + iv) + 3 +7i = 0
Trennt man Real - und Imaginärteil, so kommt
u ^ 2 - v ^ 2 - u - 4 v + 3 = 0 und
2 u v + 4 u - v + 7 = 0
Jede dieser Gleichungen stellt in einem (u,v)-Koordinatensystem
eine Hyperbel dar, diese Hyperbeln schneiden sich in zwei Punkten.
Die algebraische Auflösung liefert
u = -1, v = 1 und u = 2 , v = -5 ; dies stimmt mit Deinen Angaben
überein.
Bis auf ein anderes Mal
H.R.Moser,megamath. |
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