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Beitrag |
    
Nina Schönemann (Icebeere)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 17:16: | 
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Die Aufgabe lautet:
Wie lauten die Gleichungen der Tangenten mit dem Richtungsvektor u an den Kreis?
a) K: x²= 29
U = (Spaltenvektor)(5/-2)
Brauche Antwort möglichst heute |
MM (Stud25)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 20:14: |
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Die Angabe zum Kreis kann doch nicht stimmen??
Ein Kreis hat die Gleichung
x² + y² = R²
R² = 29, das ließe ich ja mal gelten.
Aber nur x²?? - Das Beschreibt eine Gleichung in einer Unabghängigen (deren Lösung Wurzelaus29 ist), aber sonst nichts...
Vergewissere Dich, wie der Kreis wirklich angegeben ist! |
MM (Stud25)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 21:29: |
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Lösung für die Annahme, daß der Kreis tatsächlich gegeben ist durch K: x²+y² = R² = 29 :
Die Tangenten an den Kreis mit dem Richtungsvektor u findet man, indem man sich den Richtungsvektor durch den Ursprung verlängert denkt - als eine unendlich lange Gerade g. Diese verschiebt man dann solange parallel zu sich selber, bis es einen Schnittpunkt mit dem Kreis gibt (eine Skizze ist sehr hilfreich dabei!)
Offensichtlich liefert dieser Vorgang ZWEI Schnittpunkte, weil man die Parallelverschiebung ja nach oben (pos. Y-Richtung, Schnittpunkt P=(Px,Py) wie auch nach unten (neg. Y-Richtung, Schnittpunkt P'=(P'x,P'y)) machen kann.
Eine weitere Gerade n durch einerseits den Ursprung und andererseits die beiden Schnittpunkte liefert schließlich die Koordinaten der Schnittpunkte, wobei n auf g senkrecht steht (wegen der Parallelverschiebung!):
Die Rechnung dafür kann man sich durch eine Überlegung sparen, denn der Richtungsvektor u liegt ja (zufälligerweise? ;) ) mit seiner Spitze schon auf dem Kreis.
Also muß auch ein Normalenvektor auf u WIEDER auf dem Kreis liegen, weil u mit seinen Koordinaten genau der Kreisgleichung entspricht (5²+(-2)²=29!). (Ein Normalenvektor ist ja nichts anderes als der um +/-90° gedrehte ursprüngliche Vektor.)
P stellt also einfach den pos. Normalenvektor zu u=(5/-2) dar.
Die "obere" Tangente läßt sich nun ganz simpel schreiben als Ortsvektor p auf den Punkt P mit beliebigem Offset u:
t: p + lamda * u (lamda als beliebige reele Zahl)
t: (5/2) + lamda * u
Die "untere" Tangente ergibt sich aus einer Spiegelung von P an der Y- und X-Achse:
P' = (-2/-5) (p´ geht durch den Ursprung und P')
t: p´ + lamda * u
t: (-2/5) + lamda * u
Damit ist die Aufgabe ohne TR gelöst! |
Nina (Icebeere)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Dezember, 2000 - 06:26: |
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Ich denke, die Lösung ist richtig.
x²=29 beschreibt einen Kreis, deren Mittelpunkt der Ursprung ist, diese Schreibweise kommt bei uns sehr häufig vor, sollte also auch nicht falsch sein.
Danke für die Hilfe,
wie immer ergibt sich, dass die Lösung viel einfacher ist, als man denkt.... =) |
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