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Beitrag |
    
Knorkie
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Dezember, 2000 - 12:56: | 
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt Q(4,2,-8) und die Gerade h durch x=(1/5/1)+t(4/1/-1) (t€R) gegeben.
a) weisen sie nach, daß der Punkt Q nicht auf der Geraden h liegt. Auf der Geraden h liegen die Punkte U u. V, wobei das Dreieck QUV gleichseitig ist. Bestimmen sie die Koordinaten der Punkte U+V.
b) Ermitteln sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h unter Verwendung folgender Lösungsidee: Der Vektor QP vom Punkt Q zu einem beliebigen Punkt P auf der Geraden h bildet mit dem Richtungsvektor a= (4/1/-1) der Geraden h einen Winkel a bewegt sich der Punkt längs der Geraden h , dann verändert sich die Größe des Winkels a. Genau dann, wenn der Punkt P bei seiner Bewegung die Kürzeste Entfernung vom Punkt Q besitzt (er befindet sich dann im Fußpunkt F des Lotes vom Punkt Q auf die Gerade h), ist a ein rechter Winkel. Auf dieser Orthogonalitätsbeziehung für die beiden Vektoren lassen sich die Koordinaten des Punktes F bestimmen, und mit diesem ergibt sich der gesuchte Abstand aus der Entfernung der Punkte Q und F
c) Berechnen sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h auf einem anderen Weg als in Teilaufgabe b).
Die in Teilaufgabe b) vorgestellte Lösungsidee läßt sich auf die Bestimmung des Abstandes 2er windschiefer Geraden übertragen. Durch x=(9/-1/0) + s(-4/1/-1) (s€R) ist eine Gerade g1 und durch x=(-1/0/13)+r(2/1/-2) (r€R) ist durch Gerade g2 bestimmt, die windschief zur Geraden g1 verläuft.
d)Modizifieren sie die in Teilaufgabe b) vorgestellte Lösungsidee so, daß sich auf analogen Weg der Abstand 2er windschiefer Geraden bestimmen läßt (Stellen sie ihre Überlegungen in Kurzform dar). Berechnen sie auf dieser Grundlage den Abstand der Gerade g1/g2
Mit freundlichen Grüßen und einem Großen Dankeschön Knorkie |
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