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mathebaer
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 12:12: | 
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Ich brauch wenns geht möglichst schnell Hilfe, schreib morgen eine Klausur.
Gegeben seien die Punkte A(10/15/0), B(5/5/10) , P(0/2/5), Q(2/0/3), R(3/3/0). Wie betrachten die Gerade g=(AB) und die Ebene=(PQR)
a)eine Stelle eine Parametergleichung für g und eine Koordinatengleichung für E auf.
b)Berechne die Durchstosspunkte der Geraden g durch die Koordinatenebenen sowie die Winkel unter denen g die Koordinatenebenen schneidet.
c)Brechne die Durchtsosspunkte der Koordinatenachsen durch die Ebene E.
d)Welche Winkel bildet E mit den Koordinatenachsen?
e)Bestimme eine Gerade h, welche durch B(3/5/13)geht, parallel zu E ist und die Gerade g schneidet. Gib die Koordinaten des Schnittpunktes S an.
f)Die zu E parallele Ebene durch den ursprung heist E*.Bestimme die Gleichung der Kugel k1, die E* im Ursprung und E in einem Punkt Q berührt. Gib die Koordinaten für Q an.
g)Berechne den Radius der Kugel k2 mit dem Mittelpunkt M(3/1/8), welche die Ebene E in einem Kreis vom Radius 5 schneidet.
DANKE! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 16:18: |
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Hi mathebaer,
Wir lösen die etwas anspruchsvolleren Teilaufgaben e) f) g) .
e)
Die Gleichung der Ebene E lautet, wie leicht herzuleiten
und zu bestätigen ist:
3 x + y + 2 z = 12
die Gerade g hat folgende Parameterdarstellung:
x = 10 - t, y = 15 - 2 t , z = 2 t
Die gesuchte Gerade h liegt in der Parallelebene F zu E durch
den Punkt B und geht durch den Durchstosspunkt S von g
mit der Ebene F.
Ausführung:
Gleichung von F: 3 x + y + 2z = d
B(3/5/13)liegt auf F; durch Einsetzen der Koordinaten von B
finden wir d = 40 , also
F: 3x + y +2z = 40.
Wir bestimmen den Durchstosspunkt S von g mit F ,
ebenfalls durch Einsetzen:
3(10-t) + 1(15-2t)+ 2* 2t = 40 , daraus t = - 5,
somit S ( 15 / 25 /-10 )
Gleichung der Parallelen p zu g durch S
(die beiden Parallelen haben den gleichen Richtungsvektor):
x = 15 - t , y = 25 - 2t , z = -10 + 2t.
f)
Die Gleichung der Parallelebene E* durch O lautet:
3x + y+2z = 0.
Wir legen die Senkrechte n durch O zur Ebene E ;
Gleichung von n:
x = 3t, y = t , z = t
Q ist der Schnittpunkt von n mit E; durch Einsetzen kommt:
9t + t +2t = 12, daraus t = 1, also Q(3/1/1)
Der Abstand d des Punktes Q von O ist der Durchmesser, und
der Mittelpunkt M der Strecke OQ ist der Mittelpunkt der
gesuchten Kugel; wir erhalten:
d = wurzel( 3^2+1^2`+1^2 ) = wurzel (11),
Kugelradius r = ½ * wurzel(11).
M ( 3/2 ;1/2; 1/2)
Gleichung der Kugel:
( x - 3/2 ) ^ 2 + ( y - 1/2 ) ^ 2 + ( z - 1/2 ) ^ 2 = 11 / 4 oder
x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 3 x - y - z = 0
Fortsetzung folgt
Gruss
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 16:39: |
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Hi mathebaer,
Es geht gleich weiter !
Teilaufgabe g)
Wir bestimmen mit der Formel von Hesse den Abstand a
des Mittelpunktes M(3/1/8) von der Ebene E.
Normalform der Gleichung von E:
(3 x + y +2z - 12) / wurzel (3^2+ 1^2 + 2^2) = 0 oder
(3 x + y +2z - 12) / wurzel (14) = 0
Wenn wir für x , y . z die Koordinaten von M einsetzen,
so stellt die linke Seite dieser Gleichung den gesuchten
Abstand a dar:
a = (9 + 1 + 2*8 - 12) / wurzel(14) = 14 / wurzel(14)
Der gesuchte Radius R der Kugel kann mit Pythagoras
berechnet werden
Es gilt: R^2 = a ^2 + (rho)^2, wobei rho der Radius des
Schnittkreises ist ; mit rho = 5 kommt:
R^2 = 14 + 25 = 29 , also R =wurzel(29)
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 16:54: |
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Hi mathebaer,
a) Normalenvektor von E stehe auf Verbindungsstrecken zwischen P und Q bzw. P und R jeweils senkrecht, Ansatz für Punkt Q: n•(q-p)=0, wobei die Operation "•" das Skalarprodukt bedeuten soll, analog mit Punkt R.
Daraus ergibt sich ein möglicher Normalenvektor
n=(3,1,2), einfacher auch mit Kreuzprodukt ("x"):
n=(2-0,0-2,3-5) x (3-0,3-2,0-5)
=> E: 3x+1y+2z=12 (bel. Punkt von P,Q,R in linke Seite eingesetzt ergibt die 12)
für später: |n|² = 3²+1²+2² = 14, also Normaleneinheitsvektor auf E ist:
n°=(3,1,2)/Ö14
zu den weiteren Aufgabenteilen kann ich nur sagen:
die Tipparbeit, die dazu nötig ist, ist nicht gerechtfertigt, solange nicht klar ist, dass du nicht selber doch einen Teil davon kannst.
Schreibe bitte selber deine Ansätze hierein und stelle zu den Punkten Fragen, wo du nicht weiterkommst.
f) Ab jetzt hat Q eine andere Bedeutung
E* hat ebenfalls Normaleneinheitsvektor n°, da sie parallel zu E ist. Durch Punkt O=(0|0|0) ist E* festgelegt:
E*: x•n° = 0 (rechte Seite wie oben)
Wenn die Kugel k1 zwischen E und E* liegen muss, dann muss ihr Durchmesser gleich dem Abstand von E und E* sein.
Abstand d(E,E*) ist gleich dem Abstand des Nullpunktes von E, also in HNF einsetzen:
d(E,E*)=d(E,O)=n°•(0,2,5), wobei (0,2,5) ein Stützvektor von E ist.
d(E,E*)=(0,2,5)•(3,1,2)/Ö14 = (2+10)/Ö14
und der Kugelradius ist der halbe Abstand der Ebenen, also r=6/Ö14
Der Kugelmittelpunkt muss "r Einheiten von O aus" in Richtung des Normaleneinheitsvektors n° liegen, also m=(6/Ö14)*(3,1,2)/Ö14=(6/14)*(3,1,2)=(9/7,3/7,6/7)
Damit lautet die Kugelgleichung (allgemein [x-m]²=r²)
k1: [x-(9/7,3/7,6/7)]²=36/14
Der Berührpunkt Q ergibt sich dann als Endpunkt des Normaleneinheitsvektors n° (ausgehend von O)multipliziert mit dem zweifachen Radius:
n°=(3,1,2)/Ö14
2r=12/Ö14
Ortsvektor von Q:
2r*n°=12/14*(3,1,2)=(18/7,6/7,12/7)
Nach einer Rückmeldung versuche ich vielleicht noch Teilaufgabe g)
Gruß, Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 16:56: |
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Hallo megamath,
pardon, wegen Ladeschwierigkeiten habe ich heute mal auf die vorherige Überprüfung, ob schon eine Antwort gegeben wurde, verzichtet.
Gruß, Bernd |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 17:45: |
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Hi mathebaer,
Korrigenda zu Teilaufgabe e)
Die gesuchte Gerade h geht durch die Punkte B und S,
ihre Gleichung in Parameterform lautet:
x = 15 + 12 t , y = 25 + 20 t , z = -10 -23 t
Als Richtungsvektor dient der Verbindungsvektor
der beiden Punkte B,S..
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 17:54: |
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Korrigenda zu Teilaufgabe f)
Die dritte Koordinate des Normalenvektors ist 2, nicht 1
Bitte korrigieren,auch die Konsequenzen,das ist sogarlehrreich!
sorry
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 18:21: |
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..Hi megamath, ich hab schon gezweifelt...
bei Teilaufgabe g) hab ich dasselbe raus, nur muss es unten heißen: 14+25=39
Mit freundlichem Gruß
Bernd |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 19:10: |
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Hi Bernd,
Herzlichen Dank für Deine Unterstützung;
manchmal ist man sehr darauf angewiesen.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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