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Beitrag |
    
Richard Wiemann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. September, 1999 - 15:31: | 
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Kann jemand dieses Integral, mit Zwischenschritten, lösen?
Bedingung: Zuerst Subst. mit x=cos(t) (Grenzen!!), dann partiell. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. September, 1999 - 22:47: |
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Tip:
1) t=arccos(x), so bekommst Du die neuen Integrationsgrenzen.
2) dx=-sin(t) dt
3) 1-co2²t=sin²t
Versuch es mal damit, dann kommst Du sicher klar. Sonst melden. |
Ilhan
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. September, 1999 - 00:11: |
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Hallo Richard,
hier mein Lösungsvorschlag :
1) Substitution
------------------
x = cos(t)
1*dx = -sin(t)*dt
2) das "neue" Integral lösen
------------------------------
Integral[Wurzel(1-x²)] => Integral[Wurzel[1-cos²(t)]*(-sin(t)*dt]
Wurzel[1-cos²(t)] = sin(t) und somit :
Integral[Wurzel[1-cos²(t)] * (-sin(t) * dt] = - Integral[sin(t) * sin(t) * dt]
Abkürzung : I1 = - Integral[ sin(t) * sin(t) * dt]
I1 = - Integral[ sin(t) * sin(t) * dt ]
I1 = - Integral[ u * v´]
I1 = - ( u * v - Integral[ u´ * v])
I1 = - u * v + Integral[ u´ * v])
partielle Integration mit
u = sin(t) => u´= cos(t)
v´= sin(t) => v = -cos(t)
I1 = - sin(t) * (-cos(t)) + Integral[(-cos(t)) *cos(t)*dt])
I1 = + sin(t) * cos(t) - Integral[cos(t) *cos(t)*dt]
I1 = sin(t) * cos(t) - Integral[cos²(t) *dt]
Es gilt : sin²(t) + cos²(t) = 1
und daraus : cos²(t) = 1-sin²(t)
(ohne diese "Vereinfachung" dreht man sich im Kreis !!)
einsetzen in die obige Gleichung:
I1 = sin(t)*cos(t) - Integral[ (1 - sin²(t)) * dt]
I1 = sin(t)*cos(t) - Integral[1*dt] + Integral[sin²(t)*dt]
I1 = sin(t)*cos(t) - t + Integral[sin²(t)*dt]
I1 = sin(t)*cos(t) - t - (-Integral[sin²(t)*dt])
I1 = sin(t)*cos(t) - t - I1
Den Term " I1 " auf die linke Seite bringen ergibt :
2*I1 = sin(t)*cos(t) - t
I1 = (1/2)*(sin(t) * cos(t) - t)
3) Berechnung des bestimmten Integrals
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Um das bestimmte Integral zu berechnen, muß man
entwerder rücksubstituieren und die ursprünglichen Grenzen einsetzen,
oder die Grenzen auch substituieren und einsetzen
3.1) ohne Rücksubstitution
-------------------------
Es war : x = cos(t)
=> -1 = cos(t) => t = arccos(-1) = Pi
=> +1 = cos(t) => t = arccos(+1) = 0
I1 |(Pi,0) = (1/2)*(sin(t) * cos(t) - t) |(Pi,0)
I1 |(Pi,0) = (1/2)*[(Sin(0)*cos(0) - 0 - (sin(Pi)*cos(Pi) - Pi]
I1 |(Pi,0) = (1/2)*[0 - 0 + Pi]
I1 |(Pi,0) = + Pi/2
3.2) mit Rücksubstitution
---------------------------
I1 = (1/2)*(sin(t) * cos(t) - t)
Es war : x = cos(t) => t = arccos(x)
weiterhin x = cos(t) = Wurzel[1 - sin²(t)] und daraus
x² - 1 = -sin²(t)
1 - x² = sin²(t)
===> sin(t) = Wurzel[1-x²]
und somit wird aus : I1 = (1/2)*(sin(t)*cos(t) - t)
Integral[Wurzel[1-x²]] = (1/2)*[Wurzel[1-x²]*x - arccos(x)]
Die Grenzen eingesetzt bekommt man :
Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = (1/2)*[x*Wurzel[1-x²] - arccos (x)] |(-1,1)
Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = (1/2)*[(1*Wurzel[1-1²] - arccos (1)) - ((-1)*Wurzel[1-(-1)²] - arccos(-1))]
Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = (1/2)*[ 0 + 0 - 0 + Pi]
Integral[Wurzel[1-x²]] |(-1,1) = + Pi/2
Viel Spaß beim Nachvollziehen
Ilhan |
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