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Beitrag |
    
Christoph (Gussel)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 14:22: | 
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Brauche dringend die Stammfkt. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 16:58: |
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Hi Christoph,
Das Resultat ist noch einfacher als die ausformulierte Aufgabe
Es lautet:
J = - b* e ^(- a x ) / x + C
Methode: partielle Integration
Ausführliche Herleitung auf Wunsch
Gruss
H.R.Moser,megamath |
Dominik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 19:49: |
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Hallo megamath, entweder habe ich gerade einen Mega-Denkfehler, oder ich habe die Aufgabe falsch interpretiert. Jedenfalls komme ich nie auf Dein Ergebnis.
Fangen wie mal ganz vorne an: Gesucht ist
F(x) = int [(ab/x + b/x²) * e^(-ax)] dx
Dafür kann man auch schreiben:
F(x) = int [(ab/x) * e^(-ax) ]dx +
+ int [ b/x² * e^(-ax) ]dx
Somit erhalte ich zwei Integrale. Im Ersten kann ich (ab) vor das Integral ziehen und erhalte
nun ein Integral der Form e^(-ax)/x
Dieses Integral ist aber meiner Meinung nach nur mit einer Potenzreihe der Form ln Betrag (-ax)+
(-ax)/1*1!+(-ax)²/2*2!+... zu berechnen; das Zweite Integral läßt sich wieder integrieren, jedoch ist dieser Ausdruck ziemlich kompliziert (siehe Integraltafel).
Gehe ich diese Aufgabe falsch an, oder wo steckt hier der Teufel im Detail? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 22:31: |
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Hi Dominik
Unsere divergierenden Ansichten klären sich vielleicht,
wenn ich meine Rechnung im Detail vorführe.
Zur Berechnung des gegebenen Integrals J sind
zwei Integrale zu bestimmen
J = J1 + J2 mit
J1 = int [ ab/x * e ^ (-ax) * dx ] und
J2 = int [ b/x^2 * e ^( -ax )*dx ]
Wir berechnen zunächst das Integral J1 mittels
partieller Integration [u' = e^(-ax)].
J1 = ab* { 1 / x * ( - 1/a* e^(- ax) ) - 1 / a * int [1/x^2* e^(-ax) * dx ]}
= - b / x * e ^ (-ax) - b* int [ 1 / x ^ 2 * e ^ (-ax) * dx]
= - b / x * e ^ (-ax) - J2
(es geschehen Zeichen und Wunder,
indem im Term für J1 gerade noch J2 auftaucht; das vereinfacht vieles!
Es ergibt sich das von mir früher genannte Schlussresultat
J = J1 +J2 = (J1 -J2) + J2 = J1 .
Mit besten Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Dominik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 09:52: |
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Moin megamath,
danke für den Lösungsweg. Das habe ich doch beim besten Willen übersehen, die Integrale heben sich ja auf. Ich habe gestern schon gedacht, e^(ax)/x, was will der Mann dort noch partiell integrieren, aber die Aufgabe ist ja geschickt gestellt, da ist wirklich keine Potenzreihen und auch keine Integraltafel notwendig. Alles klar.
Schönen Sonntag noch, Gruß,
Dominik. |
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