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Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 12:51: | 
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gegeben sind zwei Kugeln, die sich im R3 scheiden. Die gemeinsamen Schnittpunkte ergeben einen Kreis in einer Ebene. Wie berechnet man den Mittelpunkt und den Radius des "Schnittkreises"? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 22:30: |
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Hi Peter,
Analytisch geometrisch lässt sichder Schnittkreis oder
Durchdringungskreis zweier Kugeln auf eine recht
elegante Art ermitteln, die ich Dir gerne schildere.
Die beiden Kugeln seien je durch ihre Gleichungen gegeben:
Kugel k1: x^2+y^2+z^2 +a1*x +b1*y + c1*z + d1 = 0
Mittelpunkt M1, Radius r1
Kugel k2 :x^2+y^2+z^2 +a2*x+b2*y + c2*z + d2 = 0
Mittelpunkt M2 , Radius r2
Durch Subtraktion der beiden Gleichungen entsteht eine
lineare Gleichung in x , y , z, nämlich:
(a1-a2) * x +(b1-b2) * y +(c1-c2) * z +d1-d2 = 0
Diese Gleichung stellt eine Ebene p dar, welche Potenzebene
heisst; sie steht auf der Verbindungsgeraden z = M1M2 senkrecht
und schneidet jede der beiden Kugeln im selben Schnittkreis c.
Wenn man diese Ebene ermittelt hat, braucht man die zweite Kugel
nicht mehr; sie hat ihre Dienste geleistet und kann wegrollen !
Mit der ersten Kugel und der Potenzebene p erledigen wir nun
Deine Fragen:
A] Mittelpunkt N von c als Schnittpunkt der Ebenennormalen M1M2
mit der Potenzebene p
B] Radius rho von c aus der Gleichung
rho = wurzel(r1^2 - a^2),wobei a der Abstand des Mittelpunktes
M1 von der Ebene p ist.
Man ermittelt a mit Hesse oder als Abstand der Punkte M1 F,
F: Fusspunkt des Lotes M1M2 auf der Potenzebene.
Voilà!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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