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Beitrag |
    
David (Rittersport)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 21:42: | 
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Hallo,
ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir bis morgen die Lösungen oder Lösungsansätze zu den folgenden Aufgaben geben könntet.
Danke schon mal im voraus!
1.Gegeben sind die Punkte A(3/1) und B(4/-6)
a) Gib die Gleichung für die Mittelsenkrechte von A und B an.
b) Bestimme Gleichungen für die Kreise durch A und B mit dem Radius r=5.
2.Bestimme die Gleichungen für die Tangenten an den Kreis durch den Punkt S.
a) (x-5)²+(y+2)²=4 ; S(7/0)
Gib auch die Berührpunkte an.
3. Gegeben ist das Dreieck ABC durch seine Eckpunkte A(-10/0) B(10/0) C(0/13 1/3). Bestimme für seinen Inkreis eine Gleichung. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 13:05: |
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Hi David,
Aufgabe 1
a) Die gesuchte Mittelsenkrechte m geht durch den
Mittelpunkt M(7/2;-5/2) der Strecke AB und steht auf
AB senkrecht.
Da die Steigung von AB (-6 -1) / (4 - 3) = - 7 beträgt, ist die
Steigung von m 1/7 , nämlich das entgegengesetzt Reziproke.
Mit der Punkt-Richtungsform der Geradengleichung
erhalten wir für dir Gleichung von m:
y + 5/2 = 1/7* ( x - 7/2), vereinfacht:
x - 7 y = 21.
b)Wir legen um A den Kreis k* mit Radius r = 5:
Eine Gleichung von k lautet:
(x-3)^2 + ( y - 11)^2 = 25 oder
x^2 + y^2 - 6x - 2y = 15.
Die Mittelpunkte der gesuchten Kreise ergeben sich nun
als Schnittpunkte des Kreises k* mit der in a) ermittelten
Mittelsenkrechten m.
Schnitt k* mit m ; Durchführung:
Aus der Gleichung für m ermitteln wir x = 21 + 7y
und setzen dies in die letzte Gleichung für k* ein.
Nach gehöriger Vereinfachung entsteht die quadratische
Gleichung für die y-Werte der Schnittpunkte:
y^2 + 5 y + 6 = 0 ;
Lösungen y1 = - 2, ergibt x1 = 7; y2 = - 3 , ergibt x2 = 0
Wir haben damit die Mittelpunkte M1 und M2
der gesuchten Kreise gewonnen:
M1 (7 /-2) liefert die erste Kreisgleichung
(x-7)^2 + (y+2)^2 = 25
M2 (0 /-3) liefert die zweite Kreisgleichung:
x^2 + (y+3)^2 = 25.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 13:41: |
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Hi David,
Lösung der Aufgabe 2
Die Gleichung des Kreises kann auch so geschrieben werden:
x^2 +y^2 -10 x + 4y = - 25.......................................................( Gl I )
Nun polarisieren wir diese Gleichung .
Das ist zunächst ein rein formaler Prozess, indem wir
x^2 durch x1* x, y^2 durch y1*y
x durch (x1 + x) / 2 , y durch (y1 + y) / 2 ersetzen.
Es entsteht eine in x und y lineare Gleichung, also die Gleichung
einer Geraden p, nämlich:
x1*x + y1*y - 5 * (x1+x) + 2 * (y1 + y) = - 25.
Diese Gerade p ist die sogenannte Polare zum Punkt P1(x1/y1)
als Pol.
Verwendet man den gegebenen Punkt S als Pol und setzt
also an Stelle von x1 den x-Wert von S, somit x1 =7 und
für y1 den Wert null ein, so erhält man die Geradengleichung für p:
7x -5*( x +7) +2y = - 25 oder einfacher:
x + y = 5
Wundervoll : Die so ermittelte Gerade ( die Polare von S ) schneidet
den Kreis gerade in den Berührungspunkten derjenigen Tangenten,
welche durch S gehen!
Durchführung:
y = 5 -x wird in die Kreisgleichung ( Gl I ) eingesetzt
Es entsteht die quadratische Gleichung
x^2 - 12 x + 35 = 0 mit den Lösungen x1 = 5 , daraus y1 = 0
Und x2 = 7 , daraus y2 = - 2
B1 ( 5 / 0 ) , B2 ( 7 /- 2 ) sind die gesuchten Berührungspunkte.
Anmerkung
Man sollte die gegebenen und ermittelten Daten in ein
Koordinatensystem eintragen
Man erkennt wegen der besonderen Disposition die Resultate
sofort, sodass der obige Rechenaufwand überflüssig erscheint.
Für andere Dispositionen ist man jedoch auf das genannte Verfahren
angewiesen und froh , es gelernt zu haben.
Fortsetzung folgt.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 15:03: |
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Hi David,
Die dritte Aufgabe besticht durch ihre einfache Disposition.
Es liegt ein gleichschenkliges Dreieck ABC vor, dessen
Spitze C auf der y-Achse liegt; es gilt C( 0 ; 40/3 ).
Die Basis AB der Länge c = 20 liegt auf der x-Achse.
Aus der Höhe h = 40/3 berechnet man mit Pythagoras
die Schenkellänge a = 50/3
Um den Radius rho des Inkreises zu berechnen, verwenden
wir eine Formel aus der Planimetrie, nach welcher der
Flächeninhalt F eines Dreiecks aus rho und dem halben
Umfang s des Dreiecks berechnet wird: F = s * rho
In unserem Fall gilt:: F = ½ * c * h = 400 / 3 und
s = ½ * ( c + 2a) = 80 / 3 , somit
rho = F / s = 5 :daraus
Mittelpunkt M ( 0 / 5 ) ; Gleichung des Kreises also:
x ^ 2 + ( y - 5 ) ^ 2 = 25, oder
x ^ 2 + y ^ 2 - 10 y = 0.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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