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kleinesonne
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 17:00: | 
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Kann mir jemand möglichst schnell bei folgender Aufgabe helfen?
Berechne die Schnittpunkte der Kreise k1 und k2
k1:[x-(1/1)]²=4
k2:[x-(4/2)]²=9
wie muss ich denn das machen??? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 23:13: |
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Hallo kleinesonne,
möglichst schnell sollte wohl heißen möglichst früh, deshalb bei solchen Aufgaben: rechtzeitig eingeben, nicht erst am Sonntagabend.
Vektoriell ebenfalls möglich, aber doofe Formatierarbeit, deshalb jetzt weitgehend ohne Vektorformalismus:
Die zwei Kreise haben Mittelpunkte (1,1) und (4,2). Der Abstand ihrer Mittelpunkte ist also die Länge des Vektors (1-4,1-2)=(-3,-1), sein Betrag |(-3,-1)|=Ö10
In der Skizze ist das u+v=Ö10
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B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 23:17: |
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Bei einer Skizze stellt man fest, dass nach Pythagoras gelten muss:
(I) u²+h²=3²
(II) v²+h²=2²
(I)-(II) u²-v²=5 <=> (u+v)(u-v)=5,
es war u+v=Ö10 <=> u=Ö10-v, beides in die letzte Gleichung eingesetzt, führt auf
(Ö10)*(Ö10-v-v)=5, dies umgestellt nach v auf
v=Ö(5/2)/2 (=> u=(3/2)*Ö(5/2) )
damit lässt sich h berechnen:
nach (II) ist h²=4-v² = 4-5/8 = 27/8,
also h=Ö(27/8)
Die Verbindungslinie der Schnittpunkte beider Kreise liegt orthogonal zur Geraden g durch die Mittelpunkte,
Geradengleichung in Vektorschreibweise, g: x=(1,1)+t(4-1,2-1)=(1,1)+t(3,1)
mache also z.B. vom einen Mittelpunkt (1,1) aus einen Schritt von v "Einheiten" des Einheitsvektors m° in Richtung des anderen Kreismittelpunkts, um beim Höhenfußpunkt anzugelangen, dann ±h "Einheiten" des Normalenvektors n° in Richtung des einen oder andern Schnittpunktes.
Die Einheitsvektoren ergeben sich dabei nach:
m°=1/(Ö10)(3,1), n°=1/(Ö10)(-1,3) bzw. sein entgegengesetzter -n°=1/(Ö10)(1,-3)
"oberer (linker)" Schnittpunkt:
(1,1) + v*m° + h*n° = (1,1) + [Ö(5/2)/2]*[ 1/(Ö10)(3,1) ] + Ö(27/8)*1/(Ö10)(-1,3)
= (1.169,2.993) (gerundet)
"unterer (rechter)" Schnittpunkt:
(1,1) + v*m° + h*(-n°) = (2.331,-0.493) (gerundet)
Das schöne hierbei ist, dass alles durch Zeichnung nachgeprüft werden kann. |
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