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wvVaron (Wvvaron)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 17:23: | 
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Hi.
Ich würde gerne den Lösungsweg (nicht nur Ergebnis) folgender Aufgabe haben wollen:
Bestimme die beiden Ursprungsgeraden, die aus dem Kreis k : (x1-3)²+(x2-2)²=2 Sehnen der Länge 2 ausschneiden.
Habe wie immer keine Ahnung. Danke schonmal. wvVaron |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 22:59: |
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Hi wv.Varon ,
Eine durch den Nullpunkt O gelegte Sekante schneide den
gegebenen Kreis [Mittelpunkt M (3/2),Radius r = wurzel(2)]
In den Punkten U,V.
Der Mittelpunkt der Sehne UV sei N.
Die Durchmessergerade MN steht auf der Sehne senkrecht;
somit ist das Dreieck MNU bei N rechtwinklig
Nach Pythagoras beträgt die Länge a der Kathete MN:
A = wurzel (MU^2-NU^2) = wurzel(2 - 1) = 1
Fazit:
Die gesuchten Sekanten gehen durch O und haben vom
Mittelpunkt M des Kreises den Abstand 1.
1.Methode
Mit der Abstandsformel von Hesse.
Ansatz für die Gleichung einer Sekante s der verlangten Art:
y = mx
Normalform von s:
( m x - y ) / wurzel ( m ^ 2 + 1 ) = 0
Abstandsbedingung
( Koordinaten von M, also x = 3 , y = 2 eingesetzt ) :
(m*3 - 2 ) / wurzel ( m ^ 2 + 1 ) = (plus oder minus ) eins,
quadriert:
(3m - 2 ) ^ 2 = m ^ 2 + 1; dies ergibt die quadratische Gleichung
für die Steigung m der gesuchten Ursprungsgeraden:
8 m ^ 2 - 12 m + 3 = 0
daraus:
m1 = [ 3 + wurzel( 3 ) ] / 4
m2 = [ 3 - wurzel( 3 ) ] / 4.
2.Methode
Mit Thaleskreis
Die gesuchten Sekanten sind Tangenten an den zum
gegebenen Kreis konzentrischen Kreis kk vom Radius 1
( Der Abstand der Sekante s vom Mittelpunkt M ist 1 ).
Gleichung von kk:
(x-3)^2 + (y-2)^2 = 1 , oder
x^2 + y^2 - 6x - 4y = - 12..................................................(Gl I)
Die Berührugspunkte der Sekanten mit kk ergeben sich als
Schnittpunkte von kk mit dem Thaleskreis T, der durch den
Durchmesser OM gegeben ist.
Mittelpunkt von T ist der Mittelpunkt Z der Strecke OM, also
Z(3/2 ; 1) , der Radius ist die Länge der Strecke OZ,
also wurzel (9/4+1) = ½ wurzel (13)
Die Gleichung des Thaleskreises lautet somit:
(x-3/2)^2 + (y- 1)^2 = 13/4 oder:
x^2 + y^2 -3x - 2y = 0..............................................................(Gl II)
löst man nun das quadratische Gleichungssystem
(GL I) & (Gl II) nach x und y auf, so erhält man die Koordinaten
der Berührungspunkte der Tangenten und mit dem Quotient y/x
wiederum die Steigung m der gesuchten Tangente.
Die Detailberechnungen schenken wir uns wegen
der Adventszeit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
wvVaron (Wvvaron)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 09:45: |
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Danke schön. Sehr verständlich. Auf alle Fälle besser als unser Mathelehrer ;)
Danke Danke Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 18:21: |
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Hi wv.Varon,
Deine Aufgabe soll einen grossen Auftritt bekommen:
Die zweite Lösungsmethode soll zu einem erfolgreichen
Ende geführt werden.
Sodann zeigen wir eine dritte Methode.
Ausserdem soll die Aufgabe auf den Raum verallgemeinert
werden.
2.Methode, Abschluss
In der ersten Methode erhielten wir die exakten Werte der
Steigungen m1 und m2 der Ursprungsgeraden.
Zu Vergleichszwecken geben wir noch ihre numerischen Werte:
m1 ~ 0.31699 , m2 ~ 1.1830
Um mit der zweiten Methode weiterzufahren, haben wir die
beiden Kreise aus (Gl I) und (Gl II ) zu schneiden und die
Koordinaten ( x / y) der Schnittpunkte S1, S2 zu ermitteln.
Der Quotient y / x dieser Koordinaten für die einzelnen
Punkte stellt dann die gesuchte Steigung m dar.
Wir subtrahieren die beiden Gleichungen und erhalten eine
lineare Gleichung in x , y , nämlich
3x + 2y = 12.....................................................................................(Gl III)
Das ist die Gleichung einer Geraden, der sogenannten
Potenzgeraden der beiden Kreise
( Du kannst im Archiv unter "Potenzgerade" nachsehen und
eine Kleinigkeit dazu lernen ; dies ist aber freiwillig und für
das Verständnis des Folgenden nicht nötig ! )
Wir setzen y = 6 - 3/2 x aus ( Gl III ) in (Gl II ) ein und erhalten
die quadratische Gleichung in x:
13 x^2 - 72 x + 96 = 0 mit den Lösungen
x1 = [36 + 4 * wurzel(3)] / 13 , x2 = [36 - 4* wurzel(3) ] / 13
Daraus mit ( Gl III ) :
y1 = [24 - 6 * wurzel(3) ] / 13, y2 = [ 24 + 6 * wurzel(3) ] / 13
Für y1/ x1 und y2 / x2 erhält man die oben erwähnten Werte für
m1 und m2 ; ein Bravo höherer Ordnung ist fällig !
3.Methode
Mit dem Sekanten - Tangentensatz
Du kennst diesen Satz aus der elementaren Planimetrie.
Auf unser Problem angewendet :
Wir legen durch den Nullpunkt O ausser der bereits bekannten
Sekante mit den Kreisschnittpunkten U und V
noch eine der beiden Tangenten, welche den Kreis in T berührt.
Dann gilt nach dem Sekanten-Tangentensatz für die Strecken
OU,OV,OT:
OU * OV = OT * OT
Was ist nun aber OT*OT ?
Dieses Quadrat lässt sich aus der auf null gebrachten Kreisgleichung,
d.h. aus der Gleichung
(x - 3)^2 +(y-2)^2 - 2 = 0 dadurch berechnen, dass wir für x,y
die Koordinaten x = 0 , y = 0 des Punktes O einsetzen.
Die linke Seite stellt dann gerade das gesuchte Quadrat OT ^ 2 dar
(es ist die sogenannte Potenz des Punktes O bezüglich des Kreises).
Wir erhalten:
OT ^ 2 = 11, somit gilt: OU * OV = 11.
Da aber nach der Aufgabenstellung UV = 2 ( Sehnenlänge) sein
soll, gilt mit der Abkürzung OU = u
u * ( u + 2 ) = 11
Das gibt die quadratische Gleichung für u:
u ^ 2 + 2 u - 11 = 0 mit der positiven Lösung u = -1+2*wurzel(3) = R
Der Punkt U liegt somit auf einem Kreis k* mit Mittelpunkt im
Ursprung O vom Radius R und a priori auf dem gegebenen Kreis k.
Wir haben somit wiederum die Schnittpunkte zweier Kreise zu
bestimmen ,nämlich
Kreis k*: x ^2 + y ^2 = R^2 = 13 - 4 * wurzel(3)
Kreis k : x ^ 2 + y ^2 - 6x -4 y = - 11
Durchführung analog derjenigen bei der 2.Methode.
Das Schlussresultat stimmt auch hier !
Verallgemeinerung auf eine Kugelaufgabe
Gegeben werden eine Kugel und eine Gerade.
Durch die Gerade sind Ebenen zu legen ,
welche aus der Kugel einen Kreis mit vorgegebenem
Radius schneiden.
Ich glaube, das sollte vorerst genügen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
wvVaron (Wvvaron)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 20:15: |
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Hi.
Es hat den anschein, dass die Lösungsvielfalt propotional zum Schwierigkeitsgrad der Aufgabe steigt. Ich habe mir den Kopf zerbrochen und du bietest 3 Lösungen an. Nicht schlecht.
Ich habe schon viel deiner Beiträge gelesen. Dachtest du mal zu promovieren ? |
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