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Beitrag |
    
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 21:23: | 
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Kann mir bitte jemand sagen, ob folgende Aufgabe so richtig gelöst ist? Ich bin mir nicht sicher wegen der Aufgabenstellung.
Danke.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems:
x1 + 3 * x2 + 5 * x3 + 7 * x4 + 9 * x5 = 11
x2 + 3 * x3 + 5 * x4 + 7 * x5 = 9
3 * x1 + 5 * x2 + 7 * x3 + 9 * x4 + 11 * x5 = 9
x1 + 2 * x3 + 4 * x4 + 6 * x5 = 8
x1 + 4 * x2 + 6 * x3 + 8 * x4 + 10 * x5 = 12
x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 11
______x2 + _x3 + _x4 + _x5 = 1
____________x3 + 2x4 + 3x5 = 4
___________6x3 + 12x4+18x5 = 24
___________4x3 + 8x4 +12x5 = 16
x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 11
______x2 + _x3 + _x4 + _x5 = 1
____________x3 + 2x4 + 3x5 = 4
_________________0x4 + 0x5 = 0
_____________________+ 0x5 = 0
Lösung: x> = 0; -3 ; 4 ; 0 ; 0
Endschuldigt bitte die schlechte Darstellungsweise. Bitte denkt euch die Unterstriche einfach weg.
Danke.
Mit freundlichem Gruss
Frank |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Dezember, 2000 - 22:45: |
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Hallo Frank,
Deine Lösung ist leider nicht richtig, wie du leicht durch Einsetzen in die 3. Ausgangsgleichung feststellen kannst. |
Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 11:32: |
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Ohh, tut mir leid, in der Aufgabenstellung hat sich ein Tippfehler eingeschlichen.
Die 3. Gleichung muss lauten:
3 * x1 + 5 * x2 + 7 * x3 + 9 * x4 + 11 * x5 = 13
Sorry ;-)
Also beim Einsetzen bekomme ich schon die richtige Lösung, aber ist das auch die allgemeine Lösung? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 13:48: |
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Hallo Frank,
Ein lineares Gleichungssystem hat
entweder: keine Lösung
oder: eine einzige Lösung
oder: unendlich viele Lösungen.
Nur im letzten Fall gibt es sogenannte "frei Variablen", die man beliebig wählen kann. Man ersetzt sie in der Lösung durch Buchstaben.
Eine solche Lösung heißt "allgemeine Lösung".
Gibt man den freien Variablen bestimmte Werte, so heißt eine solchermaßen gewonnene Lösung "partikuläre Lösung" oder "spezielle Lösung".
Es ist eine aus der Vielzahl der allgemeinen Lösungsmenge herausgegriffene Lösung.
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Man findet die Lösung durch den Gaußschen Algorithmus.
In unserem Beispiel sind die Variablen x4 und x5 frei, wir nennen sie z.B. s und t.
Ich habe das Beispiel mal durch den Computer laufen lassen:
x1=0
x2=-3+s+2t
x3=4-2s-3t
x4=s
x5=t
Dies ist die allgemeine Lösung.
Man kann sie auch in Vektorform schreiben:
x1 0 0 0
x2 -3 1 2
x= x3 = 4 +s* -2 +t* -3
x4 0 1 0
x5 0 0 1
Wenn wir für s=0 und t=0 wählen, dann erhalten wir deine spezielle Lösung: x1=0; x2=-3; x3=4; x4=0; x5=0
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Wir könnten auch z.B. s=4; t=-2 wählen, dann ergibt sich
x1=0
x2=-3
x3=2
x4=4
x5=-2
ebenfalls eine spezielle Lösung.
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Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 13:50: |
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Mit den Smilies klappt es in diesem Board nicht immer!
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Frank Manta (Nullahnung)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 15:51: |
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Vielen Dank für Deine Antwort.
Das ist mir jetzt klar.
Gruss
Frank
Mit welchem Computer-Programm hast du dir die Lösung anzeigen lassen? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 19:20: |
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Hallo Frank,
Zur Lösung solcher LGS, betrachtet man am Besten nur die Koeffizientenmatrix. Dann braucht man nicht immer die Namen der Variablen mitzuschleppen.
Eine solche Koeffizientenmatrix kann mit sehr vielen Computer Algebrasystemen aber auch mit den meisten programmierbaren Taschenrechnern nach dem Gauß-Verfahren reduziert werden.
Ich glaube, ich habe das Maple-Programm benützt.
Die reduzierte Matrix ergibt sich zu:
1 0 0 0 0 0
0 1 0 -1 -2 -3
0 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Daraus kann man direkt die allgemeine Lösung ablesen.
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