| Autor |
Beitrag |
    
Marianne Holtkamp (Holtkamp)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 16:29: | 
|
Hallo,
Ich bitte um Erklärung der folgenden Formel bzgl der Berechnung von Seiten und Abständen zum Schwerpunkt im Teraeder (^2 = hoch 2)
R^2 = 3/8 a^2
Erklärung
R sei der Abstand zwischen dem Teraederschwerpunkt (N) und einem Eckpunkt (H);
a der Abstand zwischen zwei Eckpunkten H-H.
Warum 3/8 a^2 ?
Danke für Eure Hilfe
Gruß Marianne |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 23:14: |
|
Hi Marianne
Die von Dir angegebene und von mir zu beweisende Formel
gilt für reguläre Tetraeder der Kantenlänge a.
Um die Formel herzuleiten, plazieren wir das Tetraeder
in eine besonders günstige Lage bezüglich eines rechtwinkligen
(x,y,z)-Koordinatensystems.
Die Grundfläche ABC legen wir in die (x,y)-Ebene
und zwar so, dass der Schwerpunkt (Mittelpunkt)
der Seite ABC mit dem Nullpunkt O zusammenfällt;
die vierte Ecke D liegt dann auf der (positiven) z-Achse.
Dabei soll die Ecke B auf die negative x-Achse
zu liegen kommen; die Seite AC wird dann zur y-Achse
parallel
Der langen Rede kurzer Sinn ist der, dass die
Koordinaten der vier Ecken sich folgendermassen durch
die Kantenlänge a des Tetraeders ausdrücken:
A [ a/6 *wurzel (3) ; a/2 ; 0 ] , B [ - a /3 * wurzel(3) ; 0 ; 0 ] ,
C [ a/6 * wurzel(3) ; - a/2 ; 0 ] $
D [ 0 ; 0 ; h] ,dabei stellt h die Körperhöhe des regulären
Tetraeders dar.; es gilt wie man separat nachrechnet:
h = a* wurzel (2/3)...............................................................(1)
Die Koordinaten des Schwerpunktes S des Körpers sind je
die arithmetischen Mittel der Koordinaten der vier Ecken.
xS = (xA +xB + xC + xS) / 4 = 0
analodg yS = 0, zS = 0, aber
zS = (zA+zB+zC+zD) / 4 = h / 4
Deine Formel ergibt sich nun sofort mit der Abstandsregel
für zwei Punkte:
R^2 = AS ^ 2 =(xA-xS) ^ 2 + (yA-yS) ^ 2 + (zA-zS) ^ 2 =
a ^ 2 * {1 / 12 + 1 / 4 + 1 / 24} = 3 * a ^ 2 / 8 w.z.b.w...... BRAVO !
Anmerkung
Interessant ist auch die Existenz eines Schwerpunktes im
allgemeinen Tetraeder.
Man definiert zunächst die Mittellinie eines Tetraeders
als Verbindungsstrecke einer Ecke mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Seitenfläche
Es gilt der Satz:
Die vier Mittellinien eines Tetraeders schneiden sich
in seinem Schwerpunkt und werden durch diesen von den
Ecken aus im Verhältnis 3 : 1 geteilt.
So weit so gut !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 06:38: |
|
Hi Marianne,
Deine Aufgabe lässt sich noch etwas direkter lösen,
wenn man vom Satz Gebrauch macht, den ich in der
Anmerkung meiner vorangehenden Arbeit zitiert habe.
Der Schwerpunkt S des regulären Tetraeders teilt die
Körperhöhe h = a * wurzel(2/3) im Verhältnis 1 : 4.
Der Abstand R des Schwerpunktes S von einer Ecke D
des Tetraeders beträgt demnach
R = ¾*h , somit gilt
R^2 = 9/16* h^2 = 9/16 * 2/3 * a ^ 2 = 3 / 8 * a ^ 2 ,
wzbw.
R ist übrigens der Radius der Umkugel des regulären
Tetraeders.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
