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Beitrag |
    
Francois74
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:06: | 
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Hallo!
Ich kann nicht vorstellen wie die folgende Aufgabe absolviert werden soll - könnte jemand helfen s.v.p.?
Ein Mischgetränk soll kreiert werden. ZumMischen stehen drei Basisflüssigkeiten ausreichend zur Verfügung:
Klarer 40% 12 DM/l
Likör 20 % 18 DM/l
Saft 0% 2 DM/l
Folgende Anforderungen werden gestellt:
- Alc mindestens 6%
- Likör mind 10 %
- Saft max 75%
- geringe Kosten pro litre
a) Beschreiben Sie das Problem mit 3 Variablen x1, x2, x3
b) Beschreiben Sie das Problem mit 2 Variablen q1, q2
Ich erhalte nur Systeme deren Lösungen nicht mit Sinn sind wie 0 l Klarer, 0 l Saft, 18 l Liqeur unter Nr a).
Nr b) kann ich garnicht vorstellen was gemeint ist.
Bitte, um Hilfe!
Ciao
Francois |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:29: |
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Hallo Francois,
das Mischgetränk besteht aus x1 Prozent Klarem, x2 Prozent Likör und x3 Prozent Saft.
Der Alkoholgehalt im Mischgetränk ist
40*x1 + 20*x2
Dieser Wert soll größer gleich 6 sein.
Die Kosten des Getränks je Liter sind
12*x1 + 18*x2 + 2*x3
Weitere Bedingungen sind
x2>=10
und
x3>=75
Alle Ungleichungen nochmal auf einen Blick:
Es soll gelten:
40*x1 + 20*x2 >= 6
x2>=10
x3>=75
und die Zielfunktion
12*x1 + 18*x2 + 2*x3 = minimal!
Das ist ein Problem der linearen Optimierung (Simplex Algorithmus).
Habt Ihr das gerade im Unterricht?
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:36: |
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Die zweite Frage mit q1 und q2 verstehe ich so:
Das Mischgetränk enthält q1 mal soviel Saft wie Likör und q2 mal soviel Klaren wie Likör. Es soll also mit den Verhältnissen der Flüssigkeiten angesetzt werden.
Und jetzt geh ich ins Bett.
Gute Nacht
Matroid |
Francois74
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:56: |
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Hallo Matroid!
Merci für Deine Hinweise! Ja, wir sprechen gerade dazu. Das Problem ist das die Menge des Klarer bei Deinen Gleichungen zero ist. Meine Gleichungen sind ein wenig anders, denn Saft soll maximal 75 % sein nicht minimal 75 %, dann erhalte ich auch aber 0 für Saft.
Simplex kann ich nun, aber das System hierzu bereitet große Probleme.
Bonsoir
Francois |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:59: |
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Hallo François74 und Matroid,
Kleiner Tippfehler bei Matroid:
x3<=75 (und nicht x3>=75)
Außerdem fehlt die Bedingung:
x1+x2+x3=100
=====================
Ergebnis ist:
Für je 100 l Mischung:
15 l Klarer
10 l Likör
75 l Saft
===========
Dies ergibt Kosten von 5,10 DM/l
und Alkoholgehalt von 8 %
=================================
Wie dies mit 2 Variablen funktionieren soll, weiß ich leider nicht. |
Francois74
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 23:54: |
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Hallo Fern!
Ich bin noch am Schwitzen. Mit Verhältniszahlen komme ich auch nicht zu einen Ergebnis. Auch verstehe ich nicht wieso mit Simplex die Minimierung hier erfolgt, nicht aber die Maximierung.
Francois |
Francois74
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 09:56: |
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Hallo Fern!
Könntest Du s.v.p. Deinen Lösungsweg mir mitteilen? Ich komme nicht zum Resultat auch wegen des Gleichzeichens bei x1+x2+x3=100. Meine Methode ist, das duale Problem zum Minimal-Problem (Maximal-Problem) zu lösen. Damit ist es aber unmöglich das Gleichzeichen zu berücksichtigen und Größer-Gleich wäre nicht korrekt.
Oder, welche Methode favorisierst Du?
Merci, Francois |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 14:28: |
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Hallo François74,
Meine Lieblingsmethode ist, die Sache meinen Computer rechnen zu lassen!
Die Dual-Methode benützt die tranponierte Matrix des Minimalproblems.
Man kann ein Minimum-Problem zum Maximum-Problem machen, indem man die negative Zielfunktion nimmt; also:
K=12*x1+18*x1+2*x3 -> Min
ist gleichwertig mit:
-K=-12*x1-18*x2-2*x3 -> Max
Dies ist unsere neue Zielfunktion, die wir zum Maximum machen wollen.
Wir bringen sie auf die Form -K = K'+12x1+18x2+2x3 = 0
Dies ergibt die Koeffizienten, wie sie in die Matrix eingetragen werden.
=====================
Zum Problem des Gleichheitszeichens gibt es einen Trick (une astuce!):
anstatt x1+x2+x3 = 100
schreibt man zwei Bedingungen:
x1+x2+x3 <= 100
x1+x2+x3 >= 100
Man hat so eine Bedingung mehr, aber alle mit größer oder kleiner Zeichen.
Für die "Normalform" müssen aber alle Bedingungen mit <= sein!
Also lauten unsere beiden Bedingungen:
x1+x2+x3 <= 100
-x1-x2-x3 <= -100
=====================
Insgesamt haben wir jetzt folgende 5 Bedingungen:
(alle mit <= geschrieben)
-40x1 - 20x2 <= -6
-x2 <= -10
x3 <= 75
x1+x2+x3 <= 100
-x1-x2-x3 <= -100
===================
Für jede Bedingung muss jetzt eine "slack Variable" eingeführt werden, um auf Gleichheitszeichen zu kommen:
-40x1-20x2 +s1 = -6
-x2 + s2 = -10
x3 + s3 = 75
x1+x2+x3 + s4 = 100
-x1-x2-x3 +s5 = -100
============================
Damit können wir die Matrix aufstellen:
K' x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 s5 RHS
K' 1 12 18 2 0 0 0 0 0 0
s1 0 -40 -20 0 1 0 0 0 0 -6
s2 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -10
s3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 75
s4 0 1 1 1 0 0 0 1 0 100
s5 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 -100
Diese Matrix kann nun reduziert werden. Dies ist etwas mühsam. Am Besten mit einem Taschenrechner oder Computer).
Man erhält:
x1=15
x2=10
x3=75
Für insgesamt 100 l Mischung.
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 14:30: |
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Das "Your image here" hat keine bedeutung.
Leider funktioniert dieses Board nur alle heiligen Zeiten! |
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