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Beitrag |
    
Dragonis
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 22:39: | 
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Hi,
ich haenge hier an einer Aufgabe mit der ich leider nicht so viel anfangen kann.
Es sei E ein reeler Vektorraum und p Element aus End(E) ein Projektor, d.h. p°p = p
Beweisen Sie, dass gilt: E = Ker(p) + Im(p)
Kann damit jemand etwas anfangen ? |
Go
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:45: |
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was ist End(E)?
Endomorphismen? |
Dragonis
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 23:19: |
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Soweit ich weiss, soll das bedeuten endlich erzeugter Vektorraum E. |
Nils
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 00:07: |
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Wofür stehen Ker(p) und Im(p) |
gung
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 22:55: |
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Ker(p) ist wahrscheinlich der Kern, also Die Menge
aller Vektoren, die von p auf den Nullvektor abgebildet werden. Im(p) bzw. Image für Bild, ist der Raum, in den p abzubilden vermag.
Da ein Endomorphismus eine Abbildung in den eigenen Vektorraum ist, ist logischerweise die Summe aus dem Bild einer Abbildung und ihrem Kern der Vektorraum selbst.
Ich bin mir natürlich überhaupt nicht sicher, ob das als Beweis ausreicht. Ich werde mich noch einmal in meine Literatur vertiefen und mich bei Resultaten noch mal melden |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 10:27: |
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Hi Dragonis,
1)da p eine Abb. von E nach E ist, sind Ker(p) und Im(p) eine Teilmenge von E, also auch die Summe der UVRs Ker(p) + Im(p) eine Teilmenge von E.
2) Bleibt zu zeigen: E ist Teilmenge von Ker(p) + Im(p), mit 1) folgt dann Mengengleichheit.
Nimm irgendein x Element E. Zu zeigen: x liegt in Im(p) + Ker(p).
Da p eine Abb. von E nach E ist, folgt p(x) Element E
Also p(x) = y mit irgendeinem unbekannten y Element E
Das heißt aber: y Element Im(p). ........... (I)
Also: p(x) = y ................ wende p an
p°p(x) = p(y) ................. p°p = p
p(x) = p(y) ................... Vektorsubtraktion
p(x) - p(y) = 0 ............... als End. ist p linear
p(x-y) = 0 ................... nach Def. Ker(p)
x-y Element Ker(p) ............(II)
Schreibe jetzt x = (x - y) + y
Nach (II) ist die Klammer (x-y) Element Ker(p),
nach (I) ist das y rechts Element Im(p)
Resultat: x=(x-y) + y Element Ker(p) + Im(p)
Schönen Nikolaus noch. |
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