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MONE
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 1999 - 16:32: | 
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Ein Rechenkünstler verblüfft seine ZUschauer beim Zahlen - Raten: ein Zuschauer soll sich 3 Zahlen ausdenken und die Summen von je 2 der 3 Zahlen laut nennen. Auf Anhieb ruft der Künstler dann die gedachten Zahlen in den Raum.
a) Die 3 Summen lauten 6, 11 und 15. ERmittle mit dem Gauß-Verfahren die 3 gedachten Zahlen.
b) Der Künstler wendet folgendes Verfahren an: alle 3 Summen werden addiert und durch 2 geteilt.
Ich kann diese Aufgabe leider nicht lösen. Bitte helft mir!!!!!!! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. September, 1999 - 23:54: |
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Nennen wir die gesuchten Zahlen mal a,b und c.
a)
A : a+b=6
B : b+c=11
C : a+c=15
B+C-A : 2c=20 => c=10
eingesetzt in B und C : b=1,a=5
Falls Ihr mit Matrizen arbeitet lautet das Schema
1 1 0 06 ... 1 01 0 06 .. 1 0 -1 -5 .. 1 0 0 05
0 1 1 11 -> 0 01 1 11 -> 0 1 01 11 -> 0 1 0 01
1 0 1 15 ... 0 -1 1 09 ... 0 0 02 20 .. 0 0 1 10
b) Alle drei Summen zusammen :
(a+b)+(b+c)+(a+c) = a+b+b+c+a+c = 2a+2b+2c = 2(a+b+c)
Das durch zwei ergibt a+b+c.Zieht man nun jeweils die drei Summen ab,hat man die drei gesuchten Zahlen.
Bezogen auf dein Beispiel :
Gesamtsumme : (6+11+15)/2 = 16 => 16-6=10,16-11=5,16-15=1 sind die gesuchten Zahlen. |
David
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2000 - 16:34: |
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Ich habe auch ein Problem und währe ihnen sehr dankbar wenn sie mir so schenll wie nur möglich helfen würden. Mir wurden folgende Aufgaben gestellt:
a)
Eine Parabel 3.Grades ist symmetrisch zum Ursprung und geht durch die Punkte A(-4/16) und B(2/4). Bestimmen Sie den Funktionsgleichung, die diese Parabel festlegt.
b)
Eine Parabel 3.Grades geht durch die Punkte
A(-1/2) und B(2/2) und verläuft symmetrisch zum Ursprung. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, die diese Parabel festlegt.
c)
In folgender Aufgabe liegen die angegebenen Punkte auf Parabeln 4. Grades, sie symmertisch zur f(x)-Achse verlaufen. Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Parabel?
9. a) A(-2/-5), B(1/-5),C(0/-1)
b) A(-2/3), B(1/0), C(0/3)
Ich währe ihnen sehr verbunden wenn sie mir helfen würden ich brauche diese Lösungen umbedingt. Vielen Vielen Dank schon mal im Voraus
David |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2000 - 22:59: |
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Die Lösung hat Anonym bereits an anderer Stelle skizziert. Falls das nicht reicht,bitte nochmal melden. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 22:55: |
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Hallo!
Habe hier eine Beispielaufgabe die wir heute im Unterricht begonnen haben und wuerde mich ueber einen ausfuehrlich erklaerten Loesungsweg freuen... Vielen Dank
(Lineares Gleichungssystem zur Einfuehrung des Gaußschen Alogarithmus)
(1)x+3y-z-7u-5v=10
(2)x+4y+4z+2u+7v=3
(3)2x+6y-z-15u+11v=17
(4)-x-4y+3z-7u-v=-24
(5)4x+15y+11z-3u+31v=27 |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 15:56: |
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Hi,
Zur Einstimmung lassen wir das Computeralgebrasystem Maple V das Gleichungssystem lösen; hier das Ergebnis
> Sys:={x+3*y-z-7*u -5*v=10,x+4*y+4*z+2*u +7*v=3,2*x+6*y-z-15*u
> +11*v=17,-x-4*y+3*z-7*u-v=-24,4*x+15*y+11*z-3*u+31*v=27};
Sys := {x + 3 y - z - 7 u - 5 v = 10, x + 4 y + 4 z + 2 u + 7 v = 3,
2 x + 6 y - z - 15 u + 11 v = 17, -x - 4 y + 3 z - 7 u - v = -24,
4 x + 15 y + 11 z - 3 u + 31 v = 27}
> solve(Sys,{x,y,z,u,v});}
v= -4 / 63 , z = -43 / 7 , y= 1360 / 21, u = -94 / 21 , x = - 13991 / 63
> evalf (");
{v = -.06349206349, z = -6.142857143, y = 64.76190476,
u = -4.476190476, x = -222.0793651}
Nun lösen wir das System mit dem Gauss 'schen Algorithmus von Hand. Zuerst notieren wir die (5,5) - Matrix der linken Seite des Gleichungssystems (GLS) und fügen als sechste Spalte die Konstanten auf der rechten Seite des GLS bei. Diese sog. erweiterte Matrix A sieht so aus:
A: 1 3 -1 -7 -5 10
1 4 4 2 7 3
2 6 -1 -15 11 17
-1 -4 3 -7 -1 -24
4 15 11 -3 31 27
Unser Ziel ist es , -. nach Möglichkeit - durch sogenannte äquivalente Umformungen eine Matrix der Gestalt M :
M: 1 0 0 0 0 k1
0 1 0 0 0 k2
0 0 1 0 0 k3
0 0 0 1 0 k4
0 0 0 0 1 k5
zu erhalten. Aus M können die Lösungen direkt abgelesen werden: x = k1 , y =k2 , z = k3 , u = k4 , v = k5.
Dieses Vorhaben gelingt in fünf Schritten. , die wir der Reihe nach durchführen und kommentieren.
Vorgängig schildern wir die zulässigen Operationen bei einer äquivalenten Umformung:
1. Zu einer Zeile darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile addiert werden
2. Die Elemente einer Zeile dürfen mit einer beliebigen von null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
1.Schritt:
Die erste Zeile bleibt unverändert
Subtraktion der ersten Zeile von der zweiten ergibt die neue zweite Zeile.
Subtraktion des Zweifachen der ersten Zeile von der dritten Zeile gibt die neue dritte Zeile.
Zur vierten Zeile wird die erste addiert; dies ergibt die neue vierte Zeile.
Von der fünften Zeile wird das vierfache der ersten Zeile subtrahiert; wir erhalten so die neue fünfte Zeile.
Die neue Matrix B sieht dann so aus:
B 1 3 -1 -7 -5 10
0 1 5 9 12 -7
0 0 1 -1 21 -3
0 -1 2 -14 -6 -14
0 3 15 25 51 -13
In der ersten Spalte befinden sich nun lauter Nullen, ausgenommen in der ersten Zeile, wo eine Eins steht.
2.Schritt :
Die zweite und dritte Zeilen bleiben unverändert.
Subtraktion des dreifachen der zweiten Zeile von der ersten liefert uns die neue erste Zeile.
Wir addieren zur vierten Zeile die zweite und erhalten so die neue vierte Zeile.
Von der fünften Zeile subtrahieren wir das Dreifache der zweiten Zeile und erhalten die neue fünfte Zeile.
Insgesamt entsteht die Matrix C :
C: 1 0 -16 -34 -41 31
0 1 5 9 12 -7
0 0 1 -1 21 -3
0 0 7 -5 6 -21
0 0 0 -2 15 8
In dieser Matrix stehen auch in der zweiten Spalte lauter Nullen , ausgenommen ist die zweite Zeile ; hier steht eine Eins
So soll es weiter gehen.
Wenn es gewünscht wird, bringe ich gerne eine Fortsetzung der Rechnung zu einer späteren Zeit Bis dann !
H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 21:01: |
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Hi Anonymus ,
Der Gauss-Algorithmus soll nun an Deinem Beispiel zu einem guten Ende geführt werden:
3.Schritt:
Die dritte und fünfte Zeile bleiben unverändert.
Zur ersten Zeile addieren wir das 16-fache der dritten Teile und erhalten so die neue erste Zeile.
Von der zweiten Zeile subtrahieren wir das Fünffache der dritten Zeile und bekommen die neue zweite Zeile.
Von der vierten Zeile wird das Siebenfache der dritten subtrahiert; dies gibt die neue vierte Zeile
Die neue Matrix D hat nun auch in der dritten Spalte lauter Nullen mit Ausnahme ihrer dritten Zeile, wo eine Eins steht.
Sie sieht so aus:
D:
1 0 0 -50 295 -17
0 1 0 14 -93 8
0 0 1 -1 21 -3
0 0 0 2 -141 0
0 0 0 -2 15 8
4.Schritt:
In diesem Schritt werden alle Zeilen verändert; es geht insbesondere um die vierte Spalte.
Zur ersten Zeile wird das 25-fache der vierten addiert; das gibt die neue erste Zeile.
Von der zweiten Zeile wird das 7-fache der vierten subtrahiert; das gibt die neue zweite Zeile.
Zur dritten Zeile wird die Hälfte der vierten addiert; das gibt die neue dritte Zeile.
Wir dividieren nun alle Elemente der vierten Zeile durch 2 ; so entsteht die neue vierte Zeile.
Zur fünften Zeile addieren wir die vierte und erhalten so die neue fünfte Zeile.
Die neue Matrix E lautet mit lauter Nullen in der vierten Spalte, ausgenommen in ihrer vierten Zeile, wo eine Eins steht.
E
1 0 0 0 -3230 -17
0 1 0 0 894 8
0 0 1 0 -49.5 -3
0 0 0 1 -70.5 0
0 0 0 0 -126 8
5.Schritt:
Hier geht es um die fünfte Spalte!
Die fünfte Zeile wird mit dem Bruch - 3230/126 multipliziert und zur ersten Zeile addiert; das gibt die neue erste Zeile.
Die fünfte Zeile wird mit dem Bruch 894/126 multipliziert und zur zweiten addiert; so entsteht die neue zweite Zeile.
Die neue dritte Zeile entsteht, wenn wir zur alten dritten Zeile das - 49.5 / 126 fache der fünften addieren.
Zur vierten Zeile addieren wir das - 70.5 / 126 fache der vierten Zeile und erhalten so die neue vierte Zeile.
Schliesslich dividieren wir die fünfte Zeile durch -126 ;das Resultat ist die neue fünfte Zeile.
Jetzt liegt die Matrix M in der angestrebten Form vor, nämlich:
M
1 0 0 0 0 k1
0 1 0 0 0 k2
0 0 1 0 0 k3
0 0 0 1 0 k4
0 0 0 0 1 k5
wobei gilt:
k1 = x = -17 - 3230*8 / 126 = - 13991 / 63 = -222.08 in einer Näherung
k2 = y = 8+ 894*8 / 126 = 1360/21 = 64.76
k3 = z = - 3 - 49.5 * 8 / 126 = - 43 / 7 = - 6.14
k4 = u = 0 - 70.5 * 8 / 126 = - 94 / 21 = -4.48
k5 = v = - 4 / 63 = - 0. 064 "
Ende gut !
Gruss
H.R |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2000 - 21:40: |
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Kleine Korrektur: Beim 5.Schritt,5.Zeile, muss es richtig heissen:Zur vierten Zeile addieren wir das -70.5/126 fache der fünften Zeile. |
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