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Beitrag |
    
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 13:04: | 
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Hallo, weiß hier jemand eine Antwort auf meine Frage auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/8166.html, an welcher Stelle die Theorie nicht stimmt? |
Victor
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 14:58: |
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Servus,
Folgendes, bei dem Gleichungsystem
(I) x+ y-3z=2
(II) 2x+2y-6z=5
(III) -3x-3y+9z=-6
sind die dritte Zeile und erste Zeile linear abhängig.
Wenn Du Zeile(I) mit minus drei multiplizierst, kommt Zeile drei bei
raus. Also hast Du für drei Variablen zwei unabhängige Gleichungen.
Da können dann schon einige Lösungen (Intervalle) bei rauskommen,
heist es gibt nicht eine Lösung soindern sehr viele.
MFG Victor |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 15:30: |
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Hi Victor, vielen Dank für die Antwort,
im wesentlichen stand das, was du geschrieben hast, auf 25/8166 auch schon.
Ich habe meine Frage anscheinend noch nicht eindeutig formuliert:
Ich möchte wissen, an welcher Stelle ich die Theorie mit den Determinanten falsch verstanden habe und nicht, welche Zeilen auf welche Weise linear abhängig voneinander sind, es sei denn, es wird mir erklärt, wie diese lineare Abhängigkeit im Zusammenhang mit den Determinanten steht und worin der Unterschied zwischen den beiden Gleichungssystemen besteht.
Ich habe bestimmt einen furchtbaren Denkfehler begangen, aber ich komme einfach nicht selber drauf.
Gleichungssystem 1:
-3x-3y+9z=-6
-2x+2y-6z= 5
1x + y -3z= 2
hat Lösung {x=-1/4 und y=3z+9/4, z bleibt unbestimmt}, Probe durch Einsetzen
(0) Die Determinanten dazu sind (bitte selber nachprüfen): D=0, Unterdeterminanten Dx=0, Dy=0, Dz=0
so dass dies übereinstimmt mit meiner Interpretation der Theorie mit den
Determinanten:
(1) Ist D=0, gibt es nicht genau eine Lösung.
(2) Ist D=0 und gilt Dx=Dy=Dz=0, so hat es unendlich viele Lösungen.
(3) Ausrechnen kann man die mit den Determinanten (z.B. Cramersche Regel) natürlich nicht, da man Null durch Null teilen würde.
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Gleichungssystem 2:
-3x-3y+9z=-6
2x +2y-6z=5
x + y -3z=2
Addiere die unteren beiden Gleichungen:
es ergibt sich 3x+3y-9z=7, addiere diese zur ersten, es ergibt sich 0=1, dies ist ein Widerspruch, also L={}, Anzahl der Lösungen ist Null.
Determinanten:
D=0, Dx=0, Dy=0, Dz=0
Aber diesmal gilt obige Behauptung (2) nicht, denn danach müsste es unendlich viele Lösungen geben, es gibt aber keine Lösung.
Wo liegt der Fehler? |
Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 19:37: |
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Hallo B. Bernd
Hier ist nochmal Randy.
In meiner letzten Aussage bin ich wohl ein bißchen vom Thema abgekommen.
Ich hab jetzt nochmal die ganzen Antworten im Board durchforstet und bin in deinem ersten Text bei Aussage (2)"Dann richtet sich doch die Lösbarkeit danach, ob die "Nebendeterminanten" Dx, Dy, Dz alle gleich Null sind oder nicht"
hängengeblieben.
Wie ich bereits an anderer Stelle erwähnte ist diese Regel mit den Unterdeterminanten nur anwendbar, wenn:
Die Anzahl der Gleichungen (linear unabhängig) mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt.
Das heißt meiner Meinung nach:
Man sollte die Regel nach Cramer nicht auf die beiden Systeme anwenden.
Das es beim ersten System die richtigen LSG liefert ist Zufall; oder jemand hat das System so zusammengestellt, daß es mit der Regel von Cramer trotzdem funktioniert.
KURZ: Nach Definition aus Bronstein, ist die Regel nach Cramer hier nicht anwendbar. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 21:49: |
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Hallo Bernd,
Der Fehler liegt in den von dir aufgestellten Regeln.
Sie stimmen nicht! Vor allem Regel 2) nicht.
===============
Zur Errinnerung:
Ein LGS hat entweder
- genau eine Lösung
oder
- keine Lösung
oder
- unendlich viele Lösungen.
(Es kann also nicht z. B. 27 Lösungen geben!).
=======================
Mit den "Cramer"-Determinanten kan man nun folgende Regeln aufstellen:
1) Ist D nicht Null dann gibt es genau eine Lösung.
2) Ist D=0 und nicht alle Di=0 dann gibt es keine Lösung.
3) Ist D=0 und alle Di=0 dann gibt es:
a) entweder keine Lösung
oder
b) unendlich viele Lösungen.
========================================
Anmerkung: ob 3a) oder 3b) vorliegt, kann man mit den Determinanten allein nicht entscheiden.
Gruß, Fern |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 22:58: |
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Hallo Randy und Fern, schonmal vielen Dank, dass ihr euch mit meiner Frage beschäftigt habt.
Ich sehe allerdings noch nicht den Grund, warum ich das glauben soll, was Fern geschrieben hat, nicht, dass ich immer alles glaube, was in Büchern steht, aber wenn ich jetzt mal auf einen Auszug aus einer schlecht gescannten Formelsammlung (nicht Bronstein) verweise (Ich habe bestimmt 20 Internetseiten aufgerufen, aber keine hat diesen Zusammenhang so dargestellt):
beachtet bitte die vorletzte Zeile:
Ich sehe da noch einen Widerspruch zu deiner letzten Aussage, Fern, oder doch nicht?
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Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 15:34: |
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Hi Bernd,
Ich kann dir keinen Beweis für meine Behauptungen anbieten.
Du hast Recht: sie stehen im Widerspruch zur vorletzten Zeile des gescannten Beitrags.
Dass diese (vorletzte Zeile) falsch ist, hast du ja selbst durch ein Gegenbeispiel dargelegt!
Gruß, Fern |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 17:40: |
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Ja, nochmal vielen Dank, Fern, ich glaube auch, mich erinnnern zu können, dass ich es seinerzeit im "Eckart/Jehle/Vogel" genauso gelesen hatte wie oben zitiert. Irgendwas müssen die sich doch beim Schreiben gedacht haben.
Werde sobald möglich nachschauen.
Gruß, Bernd |
Nils
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 00:19: |
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so wie ich mich noch an meine Schulzeit erinnern kann, kommt für D nicht 0 heraus, rechne das doch bitte noch einmal nach (entweder D=18 oder D = -18 ich bin mir nicht mehr sicher) |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 09:00: |
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Hallo Nils,
Du solltest vielleicht deine Schulerinnerungen mal in einem Buch auffrischen:
Für beide oben von B.Bernd angegebene Gleichungssysteme ist D=0
================================
Schreib doch mal deinen Rechnungsgang auf. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 19:04: |
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Wer sich noch dafür interessiert:
Im Kapitel 2.4.4.3.2 in meiner Ausgabe vom Bronstein steht was dazu.
Und zwar, dass System 2 unlösbar ist, weil der Rang Rg(A) der Koeffizientenmatrix
nicht mit dem Rang Rg(A,b) der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt:
A=
(A,b)=
Rg(A)=1
Rg(A,b)=2
Wer jetzt ganz viel Zeit hat, kann ja einen leicht verständlichen Beweis hierfür reinschreiben. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 22:04: |
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Hi Bernd,
Du kennst meine Meinung zu diesem Thema !
Ich möchte sie nun noch coram publico
darlegen.
Dein Gegenbeispiel (Gleichungssystem 2) ist schlagend
und genügt zur Klärung der Angelegenheit vollständig;
daran gibt es nichts zu rütteln.
Wir wollen nun den Hintergrund etwas aufhellen.
Nach meiner Ansicht ist das Instrumentarium der vier
Cramer -Determinanten zu grob
Vergleich mit der Chirurgie :ausreichend für eine
Blinddarmoperation !
Geht es aber an die Galle, Milz oder Leber, sind feinere
Instrumente nötig.
Dieses feinere Instrumentarium in der Gleichungslehre
ist der Begriff des Ranges einer Matrix und wenn wir schon
bei den Determinanten sind, möchte ich eine zur bekannten
Definition des Ranges äquivalente Definition erwähnen:
Der Rang r einer Matrix ist gleich der grössten Zahl r,
für die noch eine r-reihige Unterdeterminante
ungleich null existiert.
Welches ist nun der wesentliche Unterschied in der
Struktur der beiden von Dir erwähnten Systeme ?
Wir bestimmen je den Rang der Matrix A des Systems
und denjenigen der sogenannten erweiterten Matrix B,
bei welcher die Elemente der rechten Seite zusätzlich
auftreten.
Gleichungssystem 1:
Rang(A) = 2 (es gibt eine zweireihige Unterdet. ungleich null)
Rang(B) = 2 (idem)
Uebereinstimmung beider Ränge : lösbar !
Dimension des Lösungsraums: d = 3 - 2 = 1.
Gleichungssystem 2
Rang( A) = 1 (alle zweireihigen Unterdeterminanten sind null)
Rang (B) = 2 (es gibt zweireihige Unterdet. ungleich null)
Keine Uebereinstimmung der Ränge: unlösbar.
Mit den besten Wünschen zum Jahreswechsel
und freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser, megamath. |
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