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Lena
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 17:53: | 
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Hallo,
folgende Aufgabe müssen wir zu Hause rechnen, und die Ergebnisse dann abgeben. Meiner Mathenote kann es bestimmt nicht schaden, wenn ich das mal schaffen würde, also bitte helft mir, denn in dieser Aufgabe sind mir viel zu viel Variablen.
Also:
Gegeben sind die Funktionen ft (t im Index) mit
ft = x(x-t)^2 und die Funktionen gt (wieder im Index) mit gt = x(x^2-t^2), t Element von R+.
Die zum gleichen Paramenter gehörenden Schaubilder von ft und gt schließen eine Fläche ein. Ermittle den Inahlt dieser Fläche sowie die Gleichung der Ursprungsgeraden, welche diese Fläche halbiert.
Danke schonmal im Verraus. die Lösung würde mir sehr viel helfen. :-) |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 18:36: |
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Keine Angst, die Lehrer wollen Dir nur Angst machen, so schwer ist das gar nicht. Wenn Du keinen Plan hast: immer erstmal zeichnen, dann sieht man wenigstens schon mal, was rauskommt. Damit kannst Du dann die Rechnung gut überprüfen. Hier müsstest Du für t dann mal irgendwas einsetzen.
Rechnerisch: Als erstes brauchst Du die Schnittpunkte zwischen den beiden Kurven, zumindest die x-Werte, also
ft(x) = gt(x)
--> 0 = ft(x) - gt(x)
= x(x-t)^2 - x(x^2-t^2)
= (x^3 - 2tx^2 + t^2x) - (x^3 - t^2x)
= -2tx^2 + 2t^2x
= 2x (-tx + t^2)
Hier liest Du locker flockig die zwei Lösungen, nämlich x=0 und x=t ab.
Zwischen diesen beiden x-Werten liegt die gesuchte Fläche. Die ist aber gerade die Differenz zwischen dem Integral über ft und dem über gt auf diesem Intervall, also
A = Int(0 bis t) ft(x) - gt(x) dx
Hier können wir unser Ergebnis von oben übernehmen und uns damit Arbeit sparen.
ft(x)-gt(x) = -2tx^2 + 2t^2x
A = Int(0 bis t) -2tx^2 + 2t^2x dx
= -2/3 tx^3 + tx^2 |(t oben, 0 unten)
(hier sieht man mal, wozu das dx da ist: man darf nur das x integrieren (x^2 --> 1/3 x^3), aber nicht das t !!)
= -2/3 t^4 + t^4
= 1/3 t^4
Die Gerade mach ich später...
Gruß Dörrby |
doerrby
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 08:30: |
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Mir ist aufgefallen, dass sich die Schnittpunkte auch einfacher bestimmen lassen, man braucht nur mal scharf hinzugucken:
ft(x) = x(x-t)² = x * (x-t) * (x-t)
gt(x) = x(x²-t²)= x * (x-t) * (x+t)
Zur Geraden:
Eine Ursprungsgerade geht durch den Ursprung, hat also keinen y-Achsenabschnitt und damit lautet die allgemeine Gleichung y = mx.
Die nächste Frage ist, ob sie zur Halbierung der Fläche den Graphen von ft oder den von gt schneidet. Eine kleine Zeichnung verrät Dir: gt, aber wir wollen's mal rechnerisch machen:
Wir betrachten den Teil der Fläche über der x-Achse, da wo ft ist ( x>=0 , (x-t)²>=0 ).
Int(0 bis t) ft(x) = Int(0 bis t) x³ - 2tx² + t²x dx
= [ 1/4 t^4 - 2t*t³/3 + t²*t^2/2 ](t oben, 0 unten)
= t^4 * (1/4 - 2/3 + 1/2)
= 1/12 t^4
Das ist nur ein Viertel der gesamten eingeschlossenen Fläche, also muss die Gerade (ich nenne sie mal h) durch den Teil der Fläche unter der x-Achse laufen und damit gt schneiden.
Jetzt gibt's ein weiteres Problem: Wir kennen die Steigung der Geraden nicht, aber die brauchen wir ja, um den Schnittpunkt mit gt zu bestimmen !! Wir müssen also wohl oder übel erstmal allgemein mit y=mx weiterrechnen.
Schnittpunkt zw. gt und h:
mx = x³ - t²x
--> 0 = x³ - (t²+m)x
= x * (x - Wurz(t²+m)) * (x + Wurz(t²+m))
Der für uns interessante Schnittpunkt ist also +Wurz(t²+m). Auch wenn wir den Zahlenwert nicht kennen, können wir damit weiterrechnen. Die Funktionen gt und h sollen die Hälfte der Gesamtfläche einschließen, also 1/6 t^4. Außerdem wissen wir, dass gt den unteren Rand der Fläche bildet, weil das Integral von gestern positiv war. Also betrachten wir:
1/6 t^4 = Int(0 bis Wurz(t²+m)) h(x) - g(x) dx
= Int(0 bis Wurz(t²+m)) mx - (x³-t²x) dx
= Int(0 bis Wurz(t²+m)) -x³ + (t²+m)x dx
= [ -1/4 x^4 + (t²+m)* 1/2 x² ](Wurz(t²+m) oben, 0 unten)
= -1/4 (t²+m)² + (t²+m)* 1/2 (t²+m)
= 1/4 (t^4 + 2t²m + m²) | *4 , -2/3*t^4
0 = m² + 2t² m + 1/3 t^4
--> m1,m2 = -t² +- Wurz(t^4 - 1/3 t^4)
= (-1 +- Wurz(2/3)) t²
Bei der Schnittpunktbestimmung zw. gt und h steht der Ausdruck Wurz(t²+m). Dieser ist nur definiert, wenn man m1 = (-1 + Wurz(2/3)) t² wählt. Setzt man m2 ein, steht eine negative Zahl unter der Wurzel.
Gruß Dörrby |
Lena
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 13:21: |
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Mercy beaucoup,
warum können die Lehrer das denn nicht auch immer so erklären?
Das hat mir wirklich weitergeholfen. Mit diesen Funktionesscharen stehe ich nämlich grundsätzlich auf Kriegsfuss.
Also nochmal vielen Dank! :-) Lena |
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