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Beitrag |
    
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 16:51: | 
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hallo! bin nicht sonderlich schlecht in Mathe, aber bei dieser Aufgabe hat es mir echt die Sprache verschlagen. Vielleicht kann mir die ja jemand lösen. Am besten wäre ein detailierter Weg, damit ich das auch nachvollziehen kann. Ergebnisse habe ich schon durch ein Lösungsbuch, nur der Weg interessiert mich! vielen Dank schon einmal!
also gegeben sind:
E1 : 2 x + y - z = 4 und E2 : x + 3y + z = 3
Diese Eben Schneiden sich mit der Schnittgerade
g:x =(1/1/-1) + t(4/-3/5)
Aufgabe: Auf welchen Geraden liegen die Mittelpunkte aller Kugeln vom Radius 5, welche die Ebenen E1 und E2 berühren.
Meiner Ansicht nach gibt es 4 Geraden (Die Ebenen Schneiden sich ja in einem X förmigen Gebilde (2 im Ursprung gespiegelte V's) (nur grafisch vorstellen bitte!). Und in jedem "V" kann eine Kugel liegen... oben unten rechts und links also.
Puh, ich komme echt nicht mehr weiter..!
mein Ansatz den ich wählte war glaub ich zu kompliziert.. d(P,E1)= 5 und selbes für E2
man kommt dann über HNF auf
| 2x + y - z - 4 | = 5 * sqrt(6)
bzw.
| x + 3y + z = 3 | = 5 * sqrt(11)
hieraus lässt sich zwar schließen, dass es 4 geraden gibt.. aber wie kann ich die Geraden ausrechnen.. mit gleich bzw. einsetzen kommt man ja nicht weiter... die teile liegen ja alle Paralell zueinander. Meine Idee war es dann noch, dass auch die SChnittgerade (oben) parallell zu den auszurechnenden Geraden sein muss...
HILFE!
aber dann? FRAGEZEICHEN, BAHNHOF..
-maddes |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 20:27: |
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Hallo Maddes,
die Mittelpunkte von Kreisen, die eine Ebene berühren, liegen auf einer Ebene, die im Abstand r parallel zur gegebenen Ebene ist.
Die Mittelpunkte von Kreisen, die im Abstand r zu zwei anderen Ebenen liegen, ergeben sich als Schnittgerade zweier solcher paralleler Ebenen.
Es ist richtig, daß es 4 Geraden gibt, denn es gibt im Abstand r zu jeder Ebene zwei parallele Ebenen. Also 2*2 Moglichkeiten.
Gruß
Matroid |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 21:04: |
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Hallo maddes,
E1: 2x+y-z=4
E2: x+3y+z=3
=============
Wir legen zu E1 und E2 jeweils zwei parallele Ebenen im Abstand von 5.
Dann sind die Schnittgeraden dieser 4 Ebenen die gesuchten Geraden.
=========================0
Auf Hessesche Normalfom gebracht:
E1:
2x/W(6)+y/W(6)-z/W(6)=4/W(6)
Die rechte Seite der Gleichung ist der Abstand der Ebene vom Ursprung.
Wir zählen 5 dazu (weg) und erhalten Ebenen mit einem Abstand vom Ursprung, der um 5 größer (kleiner) ist, also Ebenen die von E1 den Abstand 5 haben:
2x/W(6)+y(W(6)-z/W(6)=4/W(6)+5 = (4+5*W(6))/W(6)
Wir multiplizieren wieder mit W(6):
2x+y-z = 4+5*W(6)
und
2x+y-z = 4-5*W(6)
sind 2 Ebenen, die von E1 den Abstand 5 haben.
===========
Genauso mit E2:
ergibt:
x+3y+z = 3+5*W(11)
x+3y+z = 3-5*W(11)
====================
Diese 4 blauen Gleichungen jetzt zum Schnitt bringen:
(ist ein wenig Rechenarbeit. Ich habe es mal für die beiden positiven Werte gemacht)
Ergebnis:
g1: [9/5+3*W(6)-W(11); 2/5-W(6)+2*W(11); 0] + t*[4; -3; 5]
oder gerundet:
g1: (5,83; 4,58; 0) + t(4; -3; 5)
=======================================
Die 3 anderen Geraden analog.
=================
PS.: Wie ich gerade sehe, hat Matroid schon das Prinzip erklärt. Trotzdem hier noch meine etwas detailierteren Ausführungen. |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 23:26: |
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das ist der Hammer!
also man hat dann zum schluss 4 Bedingungen... ich hoffe der nimmt sowas nicht mit in die LK klausur, sonst wirds echt kniffelig.. ;-)
danke für den tollen Lösungsansatz, den ich morgen gleich mal in aller Ruhe mir mit Skizze anschauen werde! Eine *dreiste* Frage muss ich mir noch erlauben, wie alt seit ihr beiden denn?
-mad |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 16:10: |
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Frag HAL. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 13:29: |
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Hi Matroid, keine Ahnung, was HAL ist. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 21:57: |
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Halt, wart mal, jetzt könnt ich's haben:
HAL9000 ? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 22:03: |
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Nicht schlecht. |
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