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Benny
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 17:01: | 
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Hallo!
Ich habe keine Idee, um diese Aufgabe zu lösen:
Ein Tetraeder habe die Ecken A, B, C, D.
Zeige:
Wenn sich die Höhen aus A und B auf die jeweils gegenüberliegende Seitenebene schneiden, dann sind die Kanten AB und CD orthogonal zueinander.
Insbesondere kenne ich die genaue Bedeutung der Begriffe Kanten und Höhen nicht.
Danke schon mal. |
thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 23:23: |
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Kanten sind die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten A,B,C,D, es gibt also 6
Die Höhen sind die Strecken von einem Punkt senkrecht auch seine gegenüber liegende Seite. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 13:51: |
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Hi Benny,
Es ist allerhöchste Zeit, Deine schöne Aufgabe zu lösen.
Damit wir eine bessere Vorstellung von der räumlichen
Situation haben, passen wir das (x,y,z)-Koordinatensystem
der Situation an.
Dies kann durch die Wahl der Ecken ABCD des Tetraeders
wie folgt geschehen:
Die Ecke C fällt mit dem Nullpunkt O zusammen,
D liegt auf der positiven x-Achse,
B ist ein Punkt der (x,y)-Ebene (nicht auf der x-Achse)
A liegt beliebig (nicht in der (x,y)-Ebene,
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit ordnen wir den
genannten Punkten die folgenden Koordinaten zu
C ( 0 / 0 / 0 ), D ( d / 0 / 0 ), B (a / b / 0 ) , A ( u / v / w )
Die Voraussetzung des Satzes lautet:
Die Gerade g1 durch A , senkrecht zur Ebene BCD
schneidet
die Gerade g2 durch B , senkrecht zur Ebene CDA
im Punkt S.
Die Behauptung lautet:
Die Kanten AB und CD des Tetraeders sind orthogonal
(m.a.W. sie stehen senkrecht aufeinander).
Bei unserer Disposition heisst das:
Das Skalarprodukt der Vektoren
AB = {a - u ; b - v ; - w} und CD = {d ; 0; 0 } ist null.
Wir haben deshalb nur die Gültigkeit der Gleichung
ad - u d = 0.................................................................(1)
nachzuweisen
Wir stellen die Parameterdastellungen der Geraden
g1 und g2 auf.
1) Gerade g1 durch A ,senkrecht zur (x,y)-Ebene:
Koordinatengleichung, Parameter s:
x = u (konst) , y = v (konst) , z = s * w........................(2)
2) Gerade g2 durch B , senkrecht zur Ebene ACD
Diese Ebene geht durch die x-Achse ; ihre Gleichung
lautet : w * y - v * z = 0 ,
wie man an ihrer Schnittgeraden mit der (y,z)-_Ebene
erkennt; das Glied mit x fehlt, wegen der Orthogonalität
mit der (y,z)-Ebene.
Den Koeffizienten von x ,y ,z in dieser Ebenengleichung
entnehmen wir den Normalenvektor { 0 ; w ; - v}
der gesuchten Geraden g.
Die Gleichung von g2 mit t als Parameter lautet also:
x = a + t * 0 , y = b + t * w , z = 0 - t * v .....................(3)
Wir fordern nun, dass ein Schnittpunkt S von g1,g2 existiere
und setzen in den beiden letzten Gleichungen (2) und (3)
die Koordinaten paarweise gleich.
Die Gleichsetzung der x-Werte allein genügt schon;
wir erhalten (x=) u = a + t* 0 = a ;
mit u = a entsteht aus (1) das gewünschte Resultat
a * d - u * d = a * d - a * d = 0 ,
welches die Orthogonalität der Kanten garantiert.
Ende des Beweises.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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