| Autor |
Beitrag |
    
lagrange
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 15:23: | 
|
also ich muß für ne klausur geometrische! (nur!)
Reihen auf Konvergenz untersuchen können.
also aufgaben ala:
"Untersuchen sie folgende Reihe für x > 0 auf konvergenz und berechnen sie gegebenenfalls ihren wert:
x * SUMME vonK=1 bis unendl. (1-x)^-k
wie gehe ich da jetzt vor? ich hab irgendwo gelesen geometrische reihen seien von der form
SUMME von...bis... q^k.
dann gelte: für q<1 konvergiert die reihe.
heißt das, daß ich hier in diesem fall erst mal die form q^k erreichen muß?
ist das umgeformt SUMME (1/1-x)^k???
oder ist das q^-k nicht gleich (1/q)^k?
wenn ja, müßte ich doch nur gucken, für welche x der ausdruck in den klammern kleiner 1 wird ?
aber wie berechne ich genau dann den grenzwert???
|
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 23:49: |
|
Hallo lagrange,
eine geometrische Reihe ist ein Ausdruck der Form:
Summe (x=0 bis k) q^x
Die Untersuchung der Konvergenz bedeutet, du betrachtest k->oo.
Man schreibt dann Summe (x=0 bis oo) q^x auch für den Grenzwert (falls existent).
Eine Herleitung zu der geometrischen Summenformel ist die Folgende:
Du definierst dir (beachte: es gilt q^0=1 (*)):
s(n):=q^0+q+q²+...+q^n
Nun multiplizierst du s(n) mit q, also:
q*s(n)=q*(q^0+q+q²+...+q^n)=q^1+q²+....+q^(n+1)
Also gilt:
q*s(n)=q+q²+....+q^(n+1)
<=>
q*s(n)=(-1+1)+(q+q²+....+q^(n+1))
<=>
q*s(n)=-1+[q^0+q+q²+...+q^n)+q^(n+1)
<=>
q*s(n)=q^(n+1)-1+s(n)
<=>
s(n)[q-1]=q^(n+1)-1
<=>
s(n)=[q^(n+1)-1]/(q-1)=[1-q^(n+1)]/(1-q)
Also
s(n)=[1-q^(n+1)]/(1-q) (**)
Da 1-q konstant ist, ist der Ausdruck im Zähler entscheidend für die Konvergenz.
Da der nenner 1-q ist, läßt sich mit der obigen Rechnung im Falle q=1 keine Aussage treffen (Teilung durch 0 nicht erlaubt!).
Aber dann schauen wir uns nochmal die Summe an:
1.Fall: q=1 => Divergent, da dann
Summe (x=0 bis k) 1^x = (k+1)*1 => Summe ist unbeschränkt (bei k->oo)
=> Divergenz im Falle q=1
Mit q=-1 ergibt sich aus (**) auch Divergenz, denn:
ist dann n gerade
=>
s(n)=1,
ist n dann ungerade =>
s(n)=0
=>
Ist |q|=1 => Divergenz der Reihe !
Ist |q|>1, so divergiert die Reihe, da dann q^(n+1) unbeschränkt ist (bei n->oo).
Ist |q|<1, so gilt:
Bei n->oo und bei |q|<1 gilt:
q^n ->0 (n->oo) bzw. q^(n+1)-> 0 (n->oo)
Also ist (mit (**))
lim s(n) [n->oo]= (1-0)/(1-q)=1/(1-q)
Also merke:
lim s(n) [n->oo]=1/(1-q) (***)
(falls |q|<1 !!!)
Im Falle der Konvergenz (also |q|<1) errechnet sich nach (***) den Grenzwert!
(beachte: Dieser Grenzwert ist definiert für Summe von 0 bis oo)
Beispiel:
i)
Frage: konvergiert Summe (k=0 bis oo) (-1,001)^k ?
Nein, denn |-1,001|>1
ii)
Frage: konvergiert Summe (k=0 bis oo) (0,4)^k ?
Ja, die Reihe konvergiert, da |0,4|<1 !
Wogegen konvergiert diese Summe?
Nach (***) konvergiert diese Summe gegen
1/(1-0,4)=1/0,6=1/(3/5)=5/3=1,666666...
iii)
Frage: konvergiert Summe (k=0 bis oo) (-0,4)^k?
Ja, da |-0,4|=0,4<1
Nach (***) konvergiert die Summe gegen
1/(1-(-0,4))=1/1,4=1/(7/5)=5/7
Zusatz:
Die Summe (x=10 bis oo) 0,6^x konvergiert, da |0,6|<1.
Der Grenzwert ergibt sich folgendermaßen (ich verallgemeiner das nun nicht in eine Formel; das Beispiel läßt sich übertragen):
Es ist
Summe (x=10 bis oo) 0,6^x
=[Summe (x=0 bis oo)0,6^x]-[Summe (x=0 bis 10)0,6^x]
=[1/(1-0,6)]-[(0,6^11-1)/(1-0,6)]=...
Die erste Klammer [] ergibt sich aus (***) und die 2e Klammer [] aus (**).
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 00:50: |
|
Das waren jetzt mal die Grundlagen, ich beziehe mich mal auf dein Beispiel:
Also, sei x>0 aus IR fest.
Dann ist:
x*SUMME vonK=1 bis unendl. (1-x)^-k
dies auch eine geometrische Reihe, denn:
x*SUMME vonK=1 bis unendl. (1-x)^-k
=x*SUMME vonK=1 bis unendl. [(1-x)^-1]^k
Da x fest ist, müssen wir zunächst nur
SUMME vonK=1 bis unendl. [(1-x)^-1]^k untersuchen.
Wenn |(1-x)^-1|<1 => Reihe ist konvergent!
Wann ist dies der Fall?
genau dann, wenn
|(1-x)^-1|<1
<=>
|1/(1-x) -1|<1
<=>
|(1-1+x)/(1-x)|<1
<=>
|x/(1-x)|<1
Die gesuchten x findest du nun durch geschickte Fallunterscheidungen. Wäre es nicht so spät, würde ich sie dir noch machen...
Aber wenn die Reihe konvergiert, so berechnest du den Grenzwert der Reihe (mithilfe (***) und Aufspaltung der Reihe) durch:
1/{1-[(1-x)^-1]} - [(1-x)^-1]^0
Dann brauchst du dies nur noch mit x zu multiplizieren, da du ja x*Summe... hast!
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 01:07: |
|
Ups, Sorry:
hier ist etwas
´
Wann ist dies der Fall?
genau dann, wenn
|(1-x)^-1|<1
<=>
|1/(1-x) -1|<1
<=>
|(1-1+x)/(1-x)|<1
<=>
|x/(1-x)|<1
´ falsch!
Ich korrigiere (und dann auch noch diesen Satz:
Wenn |(1-x)^-1|<1 <=> Reihe ist konvergent):
Wann ist dies der Fall?
genau dann, wenn
|(1-x)^-1|<1
<=>
|1/(1-x)|<1 (*****)
Nun machen wir mal die Fallunterscheidungen:
1. Fall:
1/(1-x)>0 <=> 1-x>0 <=> x<1
=> (in (*****))
1/(1-x)<1 <=> 1<1-x <=> x<0
Also ist die Reihe konvergent für x<0 (stärkere Bedingung!)
2.Fall:
1/(1-x)<0 <=> 1-x<0 <=> x>1
=> (in (*****))
-1/(1-x)<1 <=> 1-x>-1 (beachte hier: 1-x<0!)
<=> x<2
Also konvergiert die Reihe auch für 1<x<2.
Die Reihe konvergiert also für alle x<0 und für alle 1<x<2 gegen den obigen Grenzwert.
PS: Ohne Garantie auf Korrektheit...
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 01:14: |
|
Ich schreib noch so schön:
(beachte hier: 1-x<0!), und tue es selber nicht.
Im 2en Fall gilt:
2.Fall:
1/(1-x)<0 <=> 1-x<0 <=> x>1
=> (in (*****))
-1/(1-x)<1 <=> 1-x<-1 (beachte hier: 1-x<0!)
<=> x>2
Also konvergiert die Reihe auch für x>2 (stärkere Bedingung!).
=>
Die Reihe konvergiert also für alle x<0 und für alle x>2 gegen den obigen Grenzwert.
So, alle Klarheiten beseitigt?
Grüße
M. |
|
