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Beitrag |
    
Christian Oeing (chriso)
Neues Mitglied
Benutzername: chriso
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 19:23: | 
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Für die, die es wissen, ist es wahrscheinlich eine leichte Frage. Also:
Was ist Vollständigkeit? Und wann ist ein Körper vollständig?
Vielen Dank im Voraus!
CO |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 20:48: |
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Hallo Christian,
Vollständigkeit in einem metrischen Raum bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in dem metrischen Raum konvergiert (und das impliziert natürlich, dass dieser Grenzwert auch in dem metrischen Raum liegen muß!).
Ein Körper heißt vollständig, wenn folgendes gilt:
Es sei K ein geordneter Körper. Dann heißt K vollständig, falls gilt:
Ist M Teilmenge von K und M nach oben beschränkt, so existiert sup M.
So ist zum Beispiel der Körper der rationalen Zahlen nicht vollständig, denn:
Sei M:={x: 0<=x²<2}
Man kann nun zeigen:
Angenommen, es existiert ein Supremum von M (dann müßte dieses in Q liegen!).
Wäre es Wurzel(2), so hättest du einen Widerspruch, denn dazu müßte Wurzel(2) rational sein. Dies ist aber nicht der Fall.
Nun betrachtest du noch 2 weitere Fälle. Angenommen, sup existiert (in Q). Nimm an, es wäre kleiner Wurzel(2) und führe dies zum Widerspruch. Danach kannst du annehmen, es wäre > Wurzel(2) und führst dieses auch zum Widerspruch.
Daher ist z.B. Q nicht vollständig.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Christian Oeing (chriso)
Neues Mitglied
Benutzername: chriso
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 14:48: |
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Vielen Dank für die Mühe!! |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 17:53: |
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Hallo Christian,
bei Unklarheiten einfach nachfragen. Übrigens läßt sich in Q auch eine Folge konstruieren, die gegen Wurzel(2) konvergiert und Cauchy-Folge ist.
(die Folge konvergiert dann zwar in IR, NICHT aber in Q!).
Schau mal unter "Babylonisches Wurzelziehen" in einer Suchmaschine nach!
Wenn ich mich recht erinnere, habe ich mal gelesen, dass früher der Begriff der Vollständigkeit anders aufgefasst wurde, diese Auffassung aber im Laufe der Zeit geändert wurde.
Weiß leider nicht mehr in welchem Zusammenhang das war. Bei Weierstraß vielleicht?
Keine Ahnung...
Mit freundlichen Grüßen
M. |
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