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Johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 12:29: | 
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Sicher nicht! Hier die Aufgabe: "In den Telefonzellen vor einem Postamt wünschen in Stoßzeiten durchschnittlich 120 Personen je Stunde zu telefonieren. Die mittlere Gesprächsdauer beträgt 2 Minuten. Reichen 5 Zellen aus, wenn die Wahrscheinlichkeit, warten zu müssen, nicht über 20% liegen soll?" Gelöst werden soll das ganze mit der Näherungsformel von Poisson, bloß wie ist mir ein Rätsel! Bitte helft mir! |
Johannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 17:59: |
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Damit meine Aufgabe nicht im Archiv vergammelt, nun diese erneute Aufforderung: Helft mir bitte bei der Lösung dieser Aufgabe, schluchz... |
Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 17:22: |
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Bitte noch jemand anderes kontrollieren!
Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob es so richtig ist, aber ich versuchs jetzt halt, bevor hier sonst wieder nichts aufgeschrieben wird.
Je kleiner p und je größer n werden, um so besser wird die Näherung für die Binomialverteilung b(n;p;k) durch die Poissonverteilung.
Was sich dabei nur unwesentlich ändert, ist das Produkt µ aus n und p: µ=n*p
Um dieses scheint es hier zu gehen.
Betrachtet werden 2-Minuten-Zeiträume, in denen gefragt ist, ob die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X>5 größer als 20% ist, wobei die Zufallsgröße
X: die Anzahl gleichzeitig telefonierwilliger Personen ist,
also P(X>5) = 1-P(X<=5) = 1-B(n;p;5)
wobei hier n und p nicht näher bestimmt werden sollen, da die Binomialverteilung ja von vornherein durch Poisson angenähert werden soll.
Die Anzahl der 2-Minuten-Zeiträume in einer Stunde ist 30, die Anzahl telefonierwilliger Personen in einer Stunde ist 120, also kommen im Mittel 4 Personen auf einen 2-Minuten-Zeitraum.
Daher ist
µ=4 = 120/30 der Mittelwert der Zufallsgröße X.
Der Rest ist Einsetzen in die Näherungsformel:
P(X=k) = b(n;p;k) ~~ e^(-µ)*µ^k/k! , also
Binomialverteilung ~~ Poissonverteilung
P(X <= 5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=5)
= e^(-µ)*( µ^0/0! + µ^1/1! + µ^2/2! + µ^3/3! + µ^4/4! + µ^5/5! )
und mit µ=4 dann
P(X <= 5) = e^(-4)*( 4^0/0! + 4^1/1! + 4^2/2! + 4^3/3! + 4^4/4! + 4^5/5! )
P(X <= 5) = e^(-4)*( 1 + 4 + 8 + 32/3 + 32/3 + 128/15 )
~~ 0.785
also die Wahrscheinlichkeit P(X>5), warten zu müssen, ist mit
P(X>5) = 1-P(X <= 5) = 1-0.785 > 20%
Das heißt, 5 Zellen reichen nicht aus.
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Tyll (tyll)
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Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 17:40: |
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Gut erklärt und richtig gerechnet.
Tyll |
Andi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Juli, 2002 - 20:30: |
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Danke für die Kontrolle.
Andi
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