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Eduardos (eduardos)
Neues Mitglied
Benutzername: eduardos
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 13:22: | 
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Eine Nährlösung enthält zu Beginn der Beobachtung 50000 Bakterien. Täglich vermehrt sich ihre Zahl um 15%.
Wann steigt die Zahl der Bakterien erstmals um mehr als 150 000 pro Tag ?
Stimmt der Lösungsweg ?
fs(t)=k*f(t), d.h. in 21,9 Tagen
anderer Lösungsweg:
Aus f(t+1)-f(t)>150000 folgt e^0,13976*t>20 und hieraus t>ln20/0,13976
=21,4 Tage
Kann mir jemand diesen Lösungsweg( der 2te) erklären ? Stimmt der erste Lösungsweg auch ?
Vielen Dank im vorraus ! |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:07: |
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Hallo Eduardos,
es gilt:
f(t)=(1,15^t)*50000 (für t aus N)
Denn:
f(0)=1*50000=(1,15^0)*50000
(beachte: a^0=1 für alle a aus IR)
f(1)=1,15*f(0)=(1,15^1)*50000
f(2)=1,15*f(1)=(1,15²)*50000
f(3)=1,15*f(2)=(1,15³)*50000
.
.
.
(Kann man auch induktiv beweisen, aber das spar ich mir hier!)
Nach Aufgabenstellung soll also gelten:
f(t+1)-f(t)=(1,15^(t+1))*50000-(1,15^t)*50000
=50000*(1,15^t)*[1,15-1]>150000
<=>
(1,15^t)*(0,15)>3
<=>
1,15^t>3/0,15=20
Also
1,15^t>20 |ln
ln(1,15^t)>ln(20)
<=>
t*ln(1,15)>ln(20) und da ln(1,15)=0,139...>0 folgt:
t>ln(20)/ln(1,15)=21,43...
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 18:11: |
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Nachfrage:
Welchen Gedanken verfolgst du bei dem ersten Lösungsweg? Ist mir so auf Anhieb nicht klar, welche Idee du hast!
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Eduardos (eduardos)
Neues Mitglied
Benutzername: eduardos
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 19:02: |
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Danke schon mal für deine Mühe !
Mein Gedankengang war: Fs(x) ist ja immer die momentane Steigung, ich dachte wenn man einfach für die Steigung 150 000 einsetzt, dann könnte man die Zeit berechnen in der die momentane Änderungsrate 150000 übersteigt.
Ich hab das immer noch nicht ganz verstanden, sorry. Was bringt einem f(1+t)-f(t) ? |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:04: |
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Hallo Eduardos,
fs(x) ist bei dir die Ableitung der Funktion? Oder was ist fs(x)?
f(t) gibt dir die Anzahl der Bakterien am Tag t an.
f(t+1)-f(t) ist dann folgendes:
(Die Anzahl der Bakterien am Tag (t+1))-(Anzahl der Bakterien am Tag vor (t+1), also am Tag t)
Bezogen auf die obige Funktion
(ich gehe davon aus, das am 0-en Tag 50000 Bakterien vorhanden sind und am 1-en Tag (1,5)*50000 Bakterien):
Am 2-en Tag (t=2) hast du
(1,15²)*50000=66125 Bakterien.
Am 1-en Tag hatte man 1,15*50000=57500 Bakterien.
Also sind vom 1-en auf den 2en Tag 66125-57500=8625 Bakterien hinzugekommen.
Am 10-en Tag hat man:
(1,15^10)*50000~202278 Bakterien.
Am 11-en Tag hat man:
(1,15^11)*50000~2326120 Bakterien.
Vom 10-en auf den 11-en Tag sind also ungefähr 2326120-202278=2123842 Bakterien hinzugekommen.
f(t+1)-f(t) gibt dir an, wieviel Bakterien vom Tag t auf den Tag (t+1) hinzugekommen sind.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:09: |
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Übrigens, falls das die Ableitung sein sollte (und das gibt dir ja nur die ÄNDERUNGSRATE an, nicht aber die Änderung der Anzahl der Bakterien!):
Aufgabenstellung lautet:
Wann steigt die Zahl der Bakterien erstmals um mehr als 150 000 pro Tag?
Mit freundlichen Grüßen
M.
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Eduardos (eduardos)
Neues Mitglied
Benutzername: eduardos
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:32: |
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klick klick klick
jetzt hab ichs gerafft
vielen vielen Dank
ja fs(x) meinte die Ableitung von f(x) |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:50: |
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Hallo Eduardos,
mach dir nichts draus. Ist mir auch schon passiert das ich etwas ähnlich falsch wie du verstanden hatte. Man sollte sich immer klar machen, was die Ableitung genau ist (hier für h->0:
[f(t+h)-f(t)]/h).
Und dann (hier) nochmal nachschauen, was f(t) besagt.
Nun nochmal mit der Aufgabenstellung vergleichen. So vermeidet man solche Fehler.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 20:53: |
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Hallo Eduardos,
mach dir nichts draus. Ist mir auch schon passiert das ich etwas ähnlich falsch wie du verstanden hatte. Man sollte sich immer klar machen, was die Ableitung genau ist (hier für h->0:
[f(t+h)-f(t)]/h).
Und dann (hier) nochmal nachschauen, was f(t) besagt.
Das wäre hier:
(Differenz von Anzahl von Bakterien)/(Zeitdifferenz)
Das ist keine Anzahl, sondern Anzahl/Zeit!
Nun nochmal mit der Aufgabenstellung vergleichen. So vermeidet man solche Fehler.
Mit freundlichen Grüßen
M. |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 22:05: |
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 22:07: |
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Da bin ich anderer Ansicht!
Gefragt ist die Änderungsrate und die richtige Antwort ist:
t = 21,94... Tage
==============
Die zweite Lösungsmethode ergibt ein falsches Resultat.
f(t+1) - f(t) ?
Warum nicht: f(t) - f(t-1) ?
Was soll denn die Lösung: t>21,4 Tage ?
(Dann wäre ja t = 456 Tage auch eine Lösung!)
=========================== |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 22:19: |
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Hallo Fern,
AUFGABENSTELLUNG:
Wann steigt die Zahl der Bakterien erstmals um mehr als 150 000 pro Tag?
Eine Anzahl ist keine Änderungsrate. Eine Änderungsrate ist Anzahl/Zeit !!!
Aber hast Recht:
Korrekte Lösung wäre t=22. Dachte aber, das kann man sich denken...
Ne, die erste Lösung ist falsch, die zweite richtig!!!
Mit freundlichen Grüßen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 22:38: |
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Ich versuche, es deutlicher Auszudrücken:
Die Änderung der Anzahl der Bakterien, die pro Tag entsteht, ist f(t+1)-f(t) (bei meiner obigen Funktion. Startpunkt t=0 heißt noch kein Tag vergangen!).
Die Ableitung wäre die Änderungsrate in einem sehr, sehr, sehr, sehr, sehr ... kleinem Zeitraum. hier wird aber ein Tag vorgegeben!!!
Ableitung:
[f(t+h)-f(t)]/h bei h->0.
Änderung der Anzahl der Bakterien pro Tag:
f(t+1)-f(t) (das ist eine ANZAHL!!!)
Diese soll > 150000 sein.
Klar?
Mit freundlichen Grüßen
M. |
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