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Dirk (janbohlen)
Neues Mitglied
Benutzername: janbohlen
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 22:16: | 
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Hallo,
kann mir jemand sagen, wie man alle Nullstellen dieser Funktion berechnet?
Dies soll nur ein Beispiel sein.
Ebenfalls Funktionen wie X^5 = -32
etc.
Danke
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epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 22:38: |
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Hi Dirk,
x³ = -8 umwandeln in Polarkoordinaten:
|x|³*exp(3*phi*i) = 8*exp(pi*i)
damit ist |x|³ = 8 bzw. |x| = 2
und es ist 3*phi = pi + k*2pi mit k aus Z beliebig
=> für k=0 ergibt sich phi = pi/3 und x1 = 2*exp(i*pi/3) = 1 + wurzel(3)*i
=> für k=1 ergibt sich phi = pi und x2 = 2*exp(i*pi) = -2
=> für k=2 ergibt sich phi = 5*pi/3 und x3 = 2*exp(i*5*pi/3) = 1 - wurzel(3)*i
k=3 liefert das selbe wie k=0 (muss auch sein, da ein Polynom 3. Grades maximal 3 verschiedene komplexe Nullstellen hat)
also sind x1, x2,x3 die drei Lösungen dieser Gleichung.
Alternativ-Methode:
x³ - (-8) = 0 hat die leicht erkennbare Lösung x = 2
Polynomdivision (x³+8) : (x+2) = x² - 2x + 4
und x² - 2x + 4 = 0 hat die beiden Lösungen
x2/3 = 1 +- wurzel(3)*i
(diese Methode lässt sich aber nur bei kleinen Exponenten anwenden!)
Gruß epsilon
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