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Luisa
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 16:45: | 
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Brauch dringend hilfe bei der aufgabe:
Bestimme a so dass die gerade g die ebende e schneidet (zur ebende parallel ist)
E: x = (3/0/7)+r(1/3/2)+s(2/5/7)
g: x= (2/1/5)+t(2/a/7)
danke |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 21:10: |
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Hallo Luisa,
sind die Vektoren (1/3/2),(2/5/7),(2/a/7) linear unabhängig, so schneidet die Gerade die Ebene. Sind sie linear abhängig, so ist die Gerade parallel zur Ebene, wobei ich hier auch zulasse, dass die Gerade in der Ebene liegen kann.
Seien dazu x,y,z aus IR.
Setze:
x*(1/3/2)+y*(2/5/7)+z*(2/a/7)=(0/0/0)
Du erhältst 3 Gleichungen (Zeilengleichungen):
I) x+2y+2z=0
II) 3x+5y+az=0
III) 2x+7y+7z=0
Zunächst eliminieren wir x:
3*I)-II):
y+(6-a)z=0 (jetzt mit (*1) bezeichnet)
2*I) -III)
-3y-3z=0 (jetzt mit (*2) bezeichnet)
Nun eliminieren wir y:
3*(*1)+(*2):
(15-3a)z=0 (*3)
Ist nun 15-3a=0 , was äquivalent zu a=5 ist, so ist z frei wählbar, also sind die Vektoren linear abhängig.
Ist nun a<>5, so folgt aus (*3) z=0.
In (*2) eingesetzt folgt: y=0 und damit ergibt sich (z.B. mit I) auch x=0.
Folgerung:
Ist a<>5, so sind die Vektoren (1/3/2),(2/5/7),(2/a/7) linear unabhängig und damit schneidet g die Ebene.
Ist a=5, so sind die Vektoren (1/3/2),(2/5/7),(2/5/7) (beachte dass ich bei dem letzten Vektor den Wert für a, nämlich 5, eingesetzt habe)
linear abhängig. Damit ist die Gerade parallel zur Ebene, wobei ich auch zugelassen habe, dass die Gerade in der Ebene liegt.
Wenn du nun wissen willst, ob für a=5 die Gerade auch innerhalb der Ebene liegt, genügt es, zu prüfen, ob der Punkt (2/1/5), der ja auf der Geraden liegt, auch in der Ebene liegt.
Dazu setzt du
(2/1/5)=(3/0/7)+r(1/3/2)+s(2/5/7)
Nun schreibst du dir vorerst mal die ersten 2 Zeilengleichungen hin und berechnest aus diesen r und s.
Nun prüfst du, ob die 3e (Zeilen-)Gleichung mit den errechneten Werten (für r und s) auch richtig ist. Ist dies der Fall, so liegt die Gerade in der Ebene. Andernfalls ist sie echt parallel zur Ebene!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
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