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Beitrag |
    
Hannes Bär
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 07:54: | 
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Hallo
Ich bitte um Hilfe bei der folgenden Hyperbelaufgabe.
Die Gleichung 3 x ^ 2 + 10 x y + 7 y ^ 2 + 4 x + 2 y + 1 = 0
stellt eine Hyperbel dar.
Man ermittle die Gleichungen der beiden Asymptoten
und die Koordinaten des Mittelpunktes der Hyperbel.
Vielen Dank zum voraus
Hannes Bär
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 09:48: |
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Hi Hannes,
Die vorgelegte Hyperbel hat weder vertikale noch horizontale,
sonder zwei schiefe Asymptoten, wie man leicht feststellt.
Zuerst ermitteln wir die Steigung m einer solchen Asymptote.
Diese Steigung ergibt sich, wie in der Theorie dargelegt wird,
als Grenzwert lim (y / x) für x strebt gegen unendlich.
Wir dividieren daher die Gleichung beiderseits mit x ^ 2:
Zunächst entsteht:
3 + 10 * (y/x) + 7 (y/x)^2 + 4 * (1/x) + 2 (y/x) * (1/x) + 1 / x^2 = 0
Lässt man jetzt x gegen unendlich streben, so geht (y/x) gegen m,
(1/x) und 1 /x^2 aber gegen null.
Für m entsteht die quadratische Gleichung
3 + 10 m + 7 m ^2 = mit den Lösungen
m1= -1 und m2 = - 3 / 7
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Die zu m1 gehörende Asymptote a1 hat eine Gleichung der Form
y = - x + q1 ; es geht nun darum, die Konstante q1 zu bestimmen.
Bei dieser Berechnung lassen wir den Index 1 weg und setzen
q an Stelle von q1.
Wir schneiden die Hyperbel mit dieser Asymptote, indem wir y = --x + q
in die Hyperbelgleichung einsetzen.
Es entsteht 3x ^2 + 10 x (-x+q) +7(-x+q)^2 + 4x + 2(-x+q) +1 = 0
vereinfacht (die quadratischen Terme müssen verschwinden, und sie tun es auch):
- 4 q x + 7 q^2 + 2x + 2q + 1 = 0 ; beide Seiten dividieren wir mit x; es kommt
- 4 q + 7 q^2*1/x + 2 + 2q * 1/x + 1/x = 0.
Nun lassen wir x gegen unendlich streben, und wir erhalten ein Gleichung
für q, nämlich :
- 4 q + 2 = 0 , als q = ½ , die Gleichung der Asymptote a1 lautet:
y = - x + ½
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Die zu m2 gehörende Asymptote a2 hat eine Gleichung der Form
y = - 3/7 x + q2 ; es geht nun darum, die Konstante q2 zu bestimmen.
Bei dieser Berechnung lassen wir den Index 2 weg und setzen
q an Stelle von q2.
Wir schneiden die Hyperbel mit dieser Asymptote, indem wir y = -- 3/7 x + q
in die Hyperbelgleichung einsetzen.
Es entsteht 3x ^2 + 10 x (- 3/7 x+q) +7(- 3/7 x+q)^2 + 4x + 2(- 3/7 x+q) +1 = 0
vereinfacht (die quadratischen Terme müssen verschwinden, und sie tun es auch):
4 q x + 7 q^2 + 22/7 x + 2q + 1 = 0 ; beide Seiten dividieren wir mit x; es kommt
4 q + 7 q^2*1/x + 22/7 + 2q *1/x + 1/x = 0.
Nun lassen wir x gegen unendlich streben, und wir erhalten ein Gleichung
für q, nämlich :
4 q + 22 /7 = 0 , als q = 11 / 14 , die Gleichung der Asymptote a2 lautet:
y = - 3 /7 x + 11/14
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Diese beiden Geraden bringen wir zum Schnitt, indem wir das entsprechende
lineare Gleichungssystem nach x und y auflösen;
damit erhalten wir die Koordinaten xM , yM des Mittelpunktes M der Hyperbel,
nämlich:
xM = 9/4, yM = - 7/4).
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 15:30: |
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Hi Hannes,
Direkte Berechnung des Mittelpunktes der Hyperbel mittels
Differentialrechnung.
Wir leiten die Hyperbelgleichung implizit nach x ab.
6 x + 10 y + 10 x y´ + 14 y y´ + 4 + 2 y ´ = 0 ,
Auflösung nach y ´ :
y ´ = - [ 3 x + 5 y + 2 ] / [ 5 x + 7 y + 1 ]
Setzt man y´ null, so entsteht die lineare Gleichung
3 x + 5 y + 2 = 0, welche eine Gerade g1 darstellt, welche
diejenigen Punkte der Hyperbel verbindet, in denen die Tangente
parallel zur x-Achse verläuft.
Setzt man 1/y´ null, so entsteht die lineare Gleichung
5 x + 7 y + 1 = 0, welche eine Gerade g2 darstellt, welche
diejenigen Punkte der Hyperbel verbindet, in denen die Tangente
parallel zur y-Achse verläuft.
Der Mittelpunkt M der Hyperbel ergibt sich als Schnittpunkt$
der beiden Geraden g1 und g2.
Wir erhalten wiederum
xM = 9/4, yM = - 7/4
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Hannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juni, 2002 - 06:38: |
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Hallo megamath,
Danke für Deine ausführliche Lösung !
Hannes
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