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Beitrag |
    
Beat M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 12:51: | 
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Hallo,
Wer kann mir bei der folgenden Kegelschnittaufgabe helfen ?
Gegeben sind die Hyperbel x ^ 2 – y ^ 2 = 8 und die Ellipse
9 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 225.
In einem beliebigen Punkt P1 der Hyperbel werden die
Hypperbeltangente t und die Hyperbelnormale n gelegt.
Man beweise, dass der Pol von t bezüglich der Ellipse auf n liegt.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar .
Beat M.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juni, 2002 - 15:51: |
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Hi Beat,
Zuerst stellen wir die Gleichung der Hyperbeltangente t mit
Berührungspunkt P1(x1/y1) auf.
Diese Gleichung ergibt sich durch Polarisation der Hyperbelgleichung ,
sie lautet:
x1 x – y1y = 8 ; daraus erhalten wir die Steigung m = x1 / y1.
Für die Normale n ergibt sich daraus der entgegengesetzte Reziprokwert
- y1 / x1 als Steigung, so dass sich für n die Gleichung
y – y1 = - y1 / x1 ( x – x1 ) ergibt,
vereinfacht lautet somit die Gleichung von n :
y1 x + x1 y = 2 x1 y1 .
Für den Pol P* von t bezüglich der Ellipse setzen wir als Koordinaten
x = x* , y = y* an.
Die zugehörige Polare p bezüglich der Ellipse hat die Gleichung
9 x*x + 25 y*y = 225
wie man durch Polarisation der Ellipsengleichung leicht feststellt.
Sollen nun die Geraden t und p identisch sein, so muss folgende
fortlaufende Proportion gelten:
9 x* /x1 = - 25 y* / y1 = 225 / 8
Daraus berechnen wir
x* = 25 / 8 x1 , y * = - 9 / 8 y1
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Jetzt überprüfen wir, ob x astérisque und y astérisque die vorhin
ermittelte Gleichung von n befriedigen.
Wir setzen ein:
y1 25 / 8 x1 – x1 9 / 8 y1 = 2 x1 y1 , wie es sein muss.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 07:18: |
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Hi Beat,
Ergänzungen:
1)
Wir können Deine Aufgabe, die nun erfolgreich gelöst ist ,
auch so formulieren :
Die Tangente t im allgemeinen Punkt P1 der Hyperbel
x ^ 2 – y ^ 2 = 8 schneidet die Ellipse
9 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 225 in den Punkten U und V.
S sei der Schnittpunkt der Ellipsentangenten u und v
mit U, V als Berührungspunkte.
Man weise nach, dass S auf der Hyperbelnormalen n in P1
liegt.
2)
Reizvoll ist die folgende Modifikation Deiner Aufgabe:
Welches ist die Ortskurve der Pole P*, wenn P1 die Hyperbel
durchläuft ?
Lösung:
Wir gehen von den Gleichungen
x* = 25 / 8 x1 , y * = - 9 / 8 y1 aus und lösen diese nach x1, y1 auf;
Resultat :
x1 = 8 / 25 x* , y1 = - 8 / 9 y* ; setzt man dies in die Relation
x1 ^ 2 – y1 ^ 2 = 8 ein, die aus der Hypergleichung
x ^ 2 – y ^ 2 = 8 entsteht, so erhält man die Gleichung der Ortskurve:
8/625 x*^2 – 8/81 y*^2 = 1; das ist wiederum eine
Hyperbel mit den Halbachsen
a* = 25/wurzel(8) , b* = 9/wurzel(8)
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3)
Verallgemeinerung
Es gilt der Satz :
Legt man an eine Hyperbel eine Tangente und ermittelt deren Pol
bezüglich einer zur Hyperbel konfokalen Ellipse, so liegt dieser
Pol auf der im Berührungspunkt der Tangente errichteten Normalen.
Bemerkung
Die Hyperbel x ^ 2 – y ^ 2 = 8
mit den zwei gleichen Halbachsen wurzel(8)
und die Ellipse 9 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 225
mit den Halbachsen 5 und 3 sind
tatsächlich konfokal, wie leicht nachzurechnen ist.
Gemeinsame lineare Exzentriziät: e = 4.
Ende der Ergänzungen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megmath
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Beat M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juni, 2002 - 15:46: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen herzlichen Dank für Deine Hilfe, mit der ich endlich
einen Zugang zu Pol und Polare bei Kegelschnitten gefunden habe.
Beat
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