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Beitrag |
    
Monamour
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 15:57: | 
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Annie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 17:29: |
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Hier gibt noch dümmere Überschriften:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/77862.html?1024668455 |
Meister Lampe
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 20:39: |
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Heißt du denn jetzt Anny oder Annie?
Kannst du deinen Namen richtig schreiben? |
Monamour
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 07:41: |
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Habt ihr auch mal was produktives auf Lager? |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 676
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 14:37: |
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Hi Monamour!
Dann will ich mal produktiv sein:
1)
Ich würde sagen: Wenn es eine endliche Dezimaldarstellung der Zahl gibt, dann ist sie rational, sonst irrational. Mit endlich meine ich auch Perioden, denn es reicht ja, die ein einziges Mal anzugeben und sie sind dann auch nur endlich lang.
Beispiele:
1,2345 endliche Darstellung, also rational
1,2345 endliche Darstellung (45 als Periode), also rational
p keine endliche Darstellung, also irrational
Wurzel(2) keine endliche Darstellung, also irrational
Das hängt natürlich damit zusammen, dass rationale Zahlen sich als Brüche ganzer Zahlen darstellen lassen.
2)
Das ist ein Graph, der aus den beiden Winkelhalbierenden besteht (sieht aus wie ein X durch den Nullpunkt).
Den Rest mache ich bei Gelegenheit.
MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Monamour
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:08: |
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Wäre echt nett, wenn du den Rest lösen würdest! |
Meister Lampe
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 16:50: |
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Hallo Monamour,
ich hätte dir geholfen, wenn mich die Aufgabe interessieren würde und du eine passende Überschrift gewählt hättest.
Keine Frage.
Nur fand ich Annys Kommentare überflüssig, da sie kindisch sind.
Da mich deine Aufgabe aber auch nicht interessiert, helfe ich dir auch nicht. Ich hoffe, du siehst mir das nach.
PS: Nächstes mal bitte passende Überschrift wählen!
Danke!
Meister Lampe |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 677
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 19:11: |
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So! Weiter geht's:
3)
a) Hier die beiden Umgebungen auf einem Zahlenstrahl:
b) Ich bezeichne die beiden Umgebungen mal kurz als U1 und U2.
U1 = {x€R | -7/2 < x < 1/2}
= ]-7/2, 1/2[ = (-7/2, 1/2)
U2 = {x€R | -1/2 < x < 2}
= ]-1/2, 2[ = (-1/2, 2)
c)
U1 n U2 = {x€R | -7/2 < x < 1/2} n {x€R | -1/2 < x < 2}
= {x€R | -7/2 < x < 1/2 UND -1/2 < x < 2}
= {x€R | x > -7/2 UND x > -1/2 UND x < 1/2 UND x < 2}
= {x€R | x > -1/2 UND x < 1/2}
in Intervallschreibweise:
U1 n U2 = (-7/2, 1/2) n (-1/2, 2)
= (-1/2, 1/2)
d)
Ja, der Durchschnitt ist auch eine Umgebung und lässt sich so darstellen:
U1 n U2 = U1/2(0),
also eine Umgebung um 0 mit dem Radius 1/2.
Hier noch ein Bild, das die Bezeihungen verdeutlichen soll:
4)
a) Mal ausprobieren:
s1 = 2
s2 = 2 + 4 = 6
s3 = 2 + 4 + 6 = 12
s4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20
Vermutung: sn = n(n+1)
Beweis:
Induktionsanfang (n=1):
s1 = 2 = 1 * 2 = n(n+1) für n=1
Induktionsvoraussetzung:
sn = n(n+1)
Induktionsschritt (n -> n+1):
sn+1 = (n+1)(n+2) = (n+1)*n + (n+1)*2
= n(n+1) + 2(n+1) = sn + 2(n+1)
Also stimmt die Formel für alle natürlichen Zahlen.
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 20:34: |
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Hi Martin, ich wollte Aufgaben vom Typ Nr.8 auch etwas üben. Wenn du auch schon eine Lösung dafür aufgeschrieben hast, würde ich mich freuen, wenn du diese hier auch noch einträgst.
Die Definition von "Konvergenz" müsste ungefähr so lauten:
Eine Folge (an), n€IN, konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn zu jedem e > 0 eine Zahl N=N(e) so existiert, dass für alle n>N gilt: |an - a| < e
a)
Beh.: die Folge (an) mit an = 1/Ö(n+1) hat den Grenzwert a=0
Bew.: |an - a| = | 1/Ö(n+1) - 0 | = | 1/Ö(n+1) | = 1/Ö(n+1)
1/Ö(n+1) < e gilt genau dann, wenn 1/(n+1) < e²
<=> 1/e² < n+1 <=> -1 + 1/e² < n <=> N < n mit N= -1 + 1/e²
also lässt sich zu jedem vorgegebenen e>0 ein N finden, wobei N=-1 + 1/e², so dass für alle n>N gilt:
|an - 0| < e
also ist die Folge (an) mit an = 1/Ö(n+1) konvergent und ihr Grenzwert ist 0.
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 678
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juni, 2002 - 20:44: |
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Und weiter:
5)
Induktionsanfang (n=1):
a1 = a1 * q0 = a1 * 1 (stimmt also)
Induktionsvoraussetzung:
an = a1 * qn-1
Induktionsschritt (n -> n+1):
an+1 = a1 * q(n+1)-1
= a1 * qn-1 * q
= an * q
Also stimmt diese Formel für alle n€N.
6)
Es gilt: an = a1 + d*(n-1)
a) d = -2,5, a1 = 2
a18 = 2 - 17*2,5 = -40,5
b) d = 7, a1 = -10
a11 = -10 + 10*7 = 60
7)
Es sei:
an = a1 + q(n-1)
bn = b1 + r(n-1)
Dann ist
an + k*bn = a1 + q(n-1) + k(b1 + r(n-1))
= (a1 + kb1) + (q + kr)*(n-1)
Also ist (a1 + kb1) das erste Glied einer neuen arithmetischen Folge und (q + kr)*(n-1) die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder dieser Folge.
8)
limn -> oo an = 0, weil der Nenner gegen oo strebt, also der Bruch gegen 0.
an = (n²+1)/(3n²+7)
= (1 + 1/n²)/(3 + 7/n²)
--> 1/3 (für n-->oo)
So! Das war's in aller Kürze.
Bei Unklarheiten kannst du ja noch nachfragen.
MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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