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Marco
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 00:50: |
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Hi, wer kann mir sagen, wie man eine rekursive Bildungsvorschrift einer Folge in eine explizite umwandeln kann? Wie es umgekehrt gemacht werden kann, weiß ich: die explizite für das Folgenglied a(n) und für das Glied a(n+1) aufschreiben, die für a(n) nach n umstellen und in a(n+1) einsetzen. Schon hat man a(n+1) so ausgedrückt dass a(n) mit vorkommt und im günstigen Fall fallen alle n weg. aber wie rekursiv -> explizit? Beispiel: Gegeben ist die rekursive Folge a(n+1)=0.2*a(n) + 0.6 Die Lösung muss lauten: a(n) = (5a(1) - 3.75)*0.2n + 0.75 aber wie kommt man darauf, ohne zu probieren? PS: ist nicht eilig... |
Marco
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 12:36: |
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naja habe zwar gesagt, dass es nicht eilig ist, aber so gar keine Reaktion bringt mich natürlich auch nicht weiter. Versteht jemand, worum es hier geht und ist so nett und kann mir was dazu sagen? |
epsilon
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 21:44: |
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Hi Marco, ich denke, dass es für Dein Problem keinen Königsweg gibt, d.h. man muss zu jeder Aufgabe einen eigenen Ansatz finden, aber: zwei verschiedene Ansätze bieten sich hier an: Weil a(n+1) = 0,2*a(n) + Rest ist, wäre mein erster Versuch, den Faktor 0,2 "wegzudividieren", d.h. Definiere die Folge b(n) = a(n)/0,2^n und untersuche b(n) Es ergibt sich die Rekursion b(n+1) = a(n+1)/0,2^(n+1) = 0,2*a(n)/0,2^(n+1) + 0,6/0,2^(n+1) = b(n) + 0,6/0,2^(n+1), was auf eine geometrische Reihe führt: b(n+1) = b(1) + 0,6/0,2^2 + 0,6/0,2^3 + ... + 0,6/0,2^(n+1) das sollte Dir (für dieses Problem) weiter helfen! Gruß epsilon
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egal
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 10:58: |
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Hi Marco! Deine Rekursion ist ein Spezialfall einer linearen Differenzengleichung. Unter diesem Suchbegriff findest du im Internet leicht den allgemeinen Lösungsansatz, falls es dich weitergehend interessiert. Hier nur der einfachste allgemeine Fall: a(n+1)=c*a(n)+d mit beliebigen Konstanten c,d Für c=1 ist die lineare Folge a(n)=a(0)*n+d die eindeutige Lösung. Betrachten wir also c ungleich 1. a) konstante Lösung (allgemein: spezielle inhomogene Lösung) Ansatz: a(n)=k also konstant. Einsetzen: k=c*k+d also k=d/(1-c) (beachte: c ungleich 1!) Die konstante Folge a(n)=d/(1-c) erfüllt die Rekursion b) homogene Lösung: Konstante d einfach weglassen! Ansatz: a(n)=a(0)*x^n , a(0) ist das frei wählbare Anfangsglied der geometrischen Folge. Einsetzen: a(0)*x^(n+1)=c*a(0)*x^n a(0) und x^n kürzt sich weg, x=c bleibt über Die geometrische Folge a(n)=a(0)*c^n erfüllt die homogene Rekursion (ohne d) c) Satz: Allgemeine Lösung = spezielle Lösung + homogene Lösung a(n)=a(0)*c^n+d/(1-c) Jetzt muss aber a(0) so gewählt werden, dass die Formel für ein frei wählbares a(1) gilt: a(1)=a(0)*c+d/(1-c) also a(0)=a(1)/c-d/(c-c²) Zusammenfasung: Allgemeine Lösung der Rekursion a(n+1)=c*a(n)+d , c ungleich 1 a(n)=(a(1)/c-d/(c-c²))*c^n+d/(1-c) Vergleiche mit deinen Zahlenwerten c=0.2 und d=0.6 !
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Marco
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 17:20: |
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Hallo epsilon und egal! Danke für die hilfreichen Antworten und das Stichwort Differenzengleichungen! Nachdem ich schon mit dem Vorschlag von epsilon weitergekommen bin, habe ich auch versucht, eine allgemeine Formel aufzustellen. Aber ich habs erst hingekriegt, nachdem egals Anwort auch schon hier stand: Ansatz a(n) = ( a(1)+e ) * f/f^n + g und a(n+1) = ( a(1) + e ) * f/f^(n+1) + g und dann beide Gleichungen nach (a(1)+e)*f/f^n umstellen: a(n)-g = ( a(1)+e ) * f/f^n (a(n+1)-g)*f = ( a(1) + e ) * f/f^n diese gleichsetzen: (a(n+1)-g)*f = a(n)-g |:f a(n+1)-g = a(n)/f - g/f |+g a(n+1) = a(n)/f + g(1 - 1/f) also gehören zusammen: expl.: a(n) = ( a(1)+e ) * f/f^n + g und rek.: a(n+1) = a(n)/f + g(1 - 1/f) Geht auch, oder? also mit meinem Beispiel a(n+1) = 0.2*a(n) + 0.6 passt es: f=1/0.2=5, g(1-1/f)=0.6 => g * (4/5) = 3/5 => g=3/4
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