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Umwandlung rekursive in explizite Formel

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Folgen und Reihen » Archiviert bis 11. August 2002 Archiviert bis Seite 3 » Umwandlung rekursive in explizite Formel « Zurück Vor »

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Marco
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 00:50:   Beitrag drucken

Hi, wer kann mir sagen, wie man eine rekursive Bildungsvorschrift einer Folge in eine explizite umwandeln kann?

Wie es umgekehrt gemacht werden kann, weiß ich:
die explizite für das Folgenglied a(n) und für das Glied a(n+1) aufschreiben, die für a(n) nach n umstellen und in a(n+1) einsetzen. Schon hat man a(n+1) so ausgedrückt dass a(n) mit vorkommt und im günstigen Fall fallen alle n weg.

aber wie rekursiv -> explizit?


Beispiel:
Gegeben ist die rekursive Folge a(n+1)=0.2*a(n) + 0.6


Die Lösung muss lauten: a(n) = (5a(1) - 3.75)*0.2n + 0.75

aber wie kommt man darauf, ohne zu probieren?


PS: ist nicht eilig...
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Marco
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 12:36:   Beitrag drucken

naja habe zwar gesagt, dass es nicht eilig ist, aber so gar keine Reaktion bringt mich natürlich auch nicht weiter.

Versteht jemand, worum es hier geht und ist so nett und kann mir was dazu sagen?
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 21:44:   Beitrag drucken

Hi Marco,

ich denke, dass es für Dein Problem keinen Königsweg gibt, d.h. man muss zu jeder Aufgabe einen eigenen Ansatz finden, aber:

zwei verschiedene Ansätze bieten sich hier an:

Weil a(n+1) = 0,2*a(n) + Rest ist, wäre mein erster Versuch, den Faktor 0,2 "wegzudividieren", d.h.

Definiere die Folge b(n) = a(n)/0,2^n und untersuche b(n)
Es ergibt sich die Rekursion b(n+1) = a(n+1)/0,2^(n+1) = 0,2*a(n)/0,2^(n+1) + 0,6/0,2^(n+1) = b(n) + 0,6/0,2^(n+1), was auf eine geometrische Reihe führt:

b(n+1) = b(1) + 0,6/0,2^2 + 0,6/0,2^3 + ... + 0,6/0,2^(n+1)

das sollte Dir (für dieses Problem) weiter helfen!

Gruß epsilon
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Juli, 2002 - 10:58:   Beitrag drucken

Hi Marco!

Deine Rekursion ist ein Spezialfall einer linearen Differenzengleichung. Unter diesem Suchbegriff findest du im Internet leicht den allgemeinen Lösungsansatz, falls es dich weitergehend interessiert. Hier nur der einfachste allgemeine Fall:

a(n+1)=c*a(n)+d mit beliebigen Konstanten c,d

Für c=1 ist die lineare Folge a(n)=a(0)*n+d die eindeutige Lösung. Betrachten wir also c ungleich 1.

a) konstante Lösung (allgemein: spezielle inhomogene Lösung)
Ansatz: a(n)=k also konstant. Einsetzen:
k=c*k+d also k=d/(1-c) (beachte: c ungleich 1!)

Die konstante Folge a(n)=d/(1-c) erfüllt die Rekursion

b) homogene Lösung: Konstante d einfach weglassen!
Ansatz: a(n)=a(0)*x^n , a(0) ist das frei wählbare Anfangsglied der geometrischen Folge. Einsetzen:
a(0)*x^(n+1)=c*a(0)*x^n
a(0) und x^n kürzt sich weg, x=c bleibt über

Die geometrische Folge a(n)=a(0)*c^n erfüllt die homogene Rekursion (ohne d)

c) Satz: Allgemeine Lösung = spezielle Lösung + homogene Lösung

a(n)=a(0)*c^n+d/(1-c)

Jetzt muss aber a(0) so gewählt werden, dass die Formel für ein frei wählbares a(1) gilt:
a(1)=a(0)*c+d/(1-c)
also
a(0)=a(1)/c-d/(c-c²)

Zusammenfasung:
Allgemeine Lösung der Rekursion a(n+1)=c*a(n)+d , c ungleich 1
a(n)=(a(1)/c-d/(c-c²))*c^n+d/(1-c)

Vergleiche mit deinen Zahlenwerten c=0.2 und d=0.6 !
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Marco
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Juli, 2002 - 17:20:   Beitrag drucken

Hallo epsilon und egal!
Danke für die hilfreichen Antworten und das Stichwort Differenzengleichungen!


Nachdem ich schon mit dem Vorschlag von epsilon weitergekommen bin, habe ich auch versucht, eine allgemeine Formel aufzustellen.

Aber ich habs erst hingekriegt, nachdem egals Anwort auch schon hier stand:

Ansatz
a(n) = ( a(1)+e ) * f/f^n + g
und
a(n+1) = ( a(1) + e ) * f/f^(n+1) + g

und dann beide Gleichungen nach (a(1)+e)*f/f^n umstellen:
a(n)-g = ( a(1)+e ) * f/f^n
(a(n+1)-g)*f = ( a(1) + e ) * f/f^n

diese gleichsetzen:
(a(n+1)-g)*f = a(n)-g |:f
a(n+1)-g = a(n)/f - g/f |+g
a(n+1) = a(n)/f + g(1 - 1/f)

also gehören zusammen:
expl.: a(n) = ( a(1)+e ) * f/f^n + g und
rek.: a(n+1) = a(n)/f + g(1 - 1/f)


Geht auch, oder?

also mit meinem Beispiel a(n+1) = 0.2*a(n) + 0.6 passt es:
f=1/0.2=5, g(1-1/f)=0.6 => g * (4/5) = 3/5 => g=3/4

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