| Autor |
Beitrag |
    
Franzi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 16:18: | 
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ft(x)=0.5*(tx-lnx)
(t ist element der reelen positiven Zahlen ohne null)
Von A(0/0.5) aus werden Tangenten an Kt gelegt. Berechne die Berührpunkte für t=t und t=1 |
mathias
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 22:59: |
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was ist Kt ? |
?
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 00:43: |
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Wahrscheinlich ft, oder? |
Franzi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 10:58: |
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Kt ist Kurve von t |
DULL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 11:22: |
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Hi Franzi!
Zuerst musst du die Ableitung von f bilden:
f't(x)=1/2*(t-1/x)
Also gilt für die Gleichung der Tangenten (ich nenne sie g):
gt(x) = m*x+b = f't(x)*x+b = 1/2*(t-1/x)*x+b
außerdem gilt: gt(0)=1/2 (wegen des Punktes A)
--> 0,5=-1/2+b <=> b=1
eigesetzt ergibt sich:
gt(x) = 1/2*t*x+1/2
Außerdem soll der graph von gt(x) Kt berühren. Also gilt:
g(x)=ft(x)
<=> 1/2*(t*x-ln(x)) = 1/2*(t*x+1)
<=> -ln(x)=1
<=> ln(x)=-1
<=> x=1/e
Also ist der Berührpunkt B unabhängig von t und hat die Koordinaten B(1/e / ft(1/e))
Ich hoffe mal ich habe alles richtig gemacht.... |
Eine Oma
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 13:16: |
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Hallo,
die Berechnung von DULL ist ganz falsch.
B hat die Koordinaten (1, t/2) |
Blondie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 13:53: |
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hallo franzi,
der rechengang von dull stimmt schon, nur hat er bei der tangente einen flüchtigkeitsfehler
gt(x)=1/2*(t*x-x)+1/2
dann ist B unabhängig von t gleich (1,t/2)
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Blondie
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Juni, 2002 - 13:55: |
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... natürlich ist B abhängig von t gleich (1,t/2). |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 02:13: |
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Hallo ihr,
ich bin mir zwar nicht ganz sicher, aber ich denke, Dull hat einen logischen Fehler gemacht, und ich schreib den Weg der Deutlichkeit halber nochmal von vorne:
ft(x)=0.5tx-0.5lnx (*)
=>
f´t(x)=0,5t-0,5/x (**)
Die Gleichung einer Tangente in einem Punkt xo lautet dann
gt(x)=f´t(xo)*x+b
b ist bestimmt durch (xo;ft(xo))
=>
ft(xo)=[f´t(xo)]*(xo)+b
<=>
b=ft(xo)-[f´t(xo)]*(xo)
Also lautet die Tangentengleichung in einem beliebigen Punkt xo an dem Graph von f:
gt(x)=[f´t(xo)]*x+{ft(xo)-[f´t(xo)]*(xo)}
Nun suchen wir (xo) so, dass gt(0)=0.5 gilt, da A auf gt liegen soll.
Also:
0.5=ft(xo)-[f´t(xo)]*(xo)
Mit (*),(**) =>
0.5=0.5t(xo)-0.5ln(xo)-[0,5t-0,5/(xo)]*xo
<=>
0.5=0.5t(xo)-0.5ln(xo)-0.5t(xo)+0.5
<=>
0=ln(xo)
=>
xo=1
Damit folgt ft(xo)=ft(1)=0.5t-ln(1)=(1/2t)
=>
Berührpunkt:
(1,(1/2t))
Beispielsweise für t=2:
f(x)=x-0.5ln(x)
=>
f´(x)=1-1/(2x)
=>
f´(1))=1-(1/2)=(1/2)
=>
b=f(1)-f´(1)=1-(1/2)=(1/2)
Damit lautet die Geradengleichung:
g(x)=(1/2)*x+(1/2)
Da f´(1)=(1/2)=Steigung von g, muß nur noch kontrolliert werden, ob g(1)=f(1)
g(1)=1
f(1)=1-0.5ln(1)=1
=>
fertig!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juni, 2002 - 02:20: |
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Sorry, hab es nicht eindeutig geschrieben:
-Damit folgt ft(xo)=ft(1)=0.5t-ln(1)=(1/2t)
=>
Berührpunkt:
(1,(1/2t))-
Das Unterstrichene ist so zu lesen: (1/2)*t
Mit freundlichen Grüssen
M.
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