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Beitrag |
    
Chris
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 09:20: | 
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Beispiel: f(x) = (x+1)*e^(1-x)
Der Wendepunkt liegt bei (1|2).
Wie begründet man das Dasein von Wendepunkten!!!, wenn man sie nicht über die 2. Ableitung ausrechnen darf?? (also die Anzahl, keinen oder 1, ~)
Wie kann man die Anzahl der Wendepunkte mit Hilfe einer Zeichnung des Graphen f(x) begründen? |
Henrik (sh4rki)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sh4rki
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 10:03: |
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Wenn man die Funktion zeichnet sieht man doch wieviel Tief und Hochpunkte sie hat. Zwischen diesen liegen doch immer Wendepunkte. Also würd ich sagen:
Anzahl Hoch-Tiefpunkte - 1 = Anzahl Wendepunkte |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 471
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 23:55: |
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Das ist eine etwas zu einfacher Formel, Henrik. Als Gegenbeispiele nenne ich nur mal f(x)=x³ (ein Wendepunkt,aber kein Hoch oder Tiefpunkt) und g(x)=1/(x²+1) (Ein Hochpunkt, zwei Wendepunkte)
Es geht wohl vielmehr darum, sich den Graphen anzuschauen und dann die Zahl der Wendepunkte zu ersehen. Ein Wendepunkt ist ja nichts anderes, als eine Änderung der "Verlaufrichtung" des Graphen, also von einer Rechts- in eine Linkskurve bzw. umgekehrt. Man muß sich also nur vorstellen man würde die Kurve von -¥ nach ¥ abfahren und zählt die Anzahl der Richtungsänderungen.
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Chris
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 17:46: |
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Entgegengesetztes Krümmungsverhalten festzustellen fällt mir leider nicht sehr leicht.
Nun denn, nichts ist unmöglich. Deshalb danke für den Tip. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 19:24: |
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Hallo Chris,
stelle dir vor, die Kurve wäre eine Strasse, die du (von links nach rechts) mit dem Auto entlangfahren würdest. Fährst du eine Rechtskurve (also Lenkrad nach rechts gedrehst) und mußt dann der Strecke entlang in eine Linkskurve wechseln, so mußt du über einen Wendepunkt fahren!
Oder man überlegt sich:
Am Beispiel f(x):=x³:
(im allgemeinen sehr nahe links bei der Wendestelle, also hier (nahe) bei x=0) links ist die Ableitung monoton fallend. An der Wendestelle hat sie (im allgemeinen in einer genügend kleinen Umgebung der Wendestelle (hier x=0)) den maximalen Wert (lokales Maximum der Ableitung). Rechts (im Allgemeinen nahe genug bei der Wendestelle und > als diese) ist die Ableitung wieder monoton fallend.
Ähnliches stellst du bei g(x):=-f(x)=-x³ fest!
Das heißt, f´(x) ist an den Wendestellen (lokal) maximal in einer genügend kleinen Umgebung! (*)
D.h. wenn xw Wendestelle ist, so ist
[f´(x)]´=f´´(x)=0. Ist aber f´´(xp)=0, so muß (*) nicht unbedingt gelten und somit auch nicht, das xp Wendestelle ist.
Vergleiche z.B.
t(x)=x^4
Dann folgt aus t´´(x)=0
12x=0 <-> x=0.
An x=0 ist aber ein Minimum und somit keine Wendestelle.
Betrachtest du t`(x)=4x³, so ist für x<0
t´(x)<0 und für x>0
t´(x)>0
Nach (*) müßte aber entweder für x>0:
1) t´(x)>0 für x>0 und für x<0
oder
2) t´(x)<0 für x>0 und für x<0
gelten.
Normalerweise würde man die Ableitung in einem Intervall ]xw-epsilon,xw+epsilon[ (wobei epsilon>0 und xw die vermutete Wendestelle) untersuchen;
Wenn aber etwas (wie hier) sowieso für alle x>0 gilt, dann auch für alle x*>0+epsilon).
Ebenso wenn etwas für alle x*<0 gilt, dann auch für alle 0-espilon<x*
Wahrscheinlich fällt dir das Autofahren am leichtesten?!
Ansonsten mach folgendes:
f(x)=x³ => f´(x)=3x²
g(x)=x³+2x-x+5 => g´(x)=3x²+2
h(x)=x^5+3x³+2x²-5 => h´(x)=5x^4+9x²+4x
Zeichne dir f(x)und f´(x) und vergleiche die Maxima/Minima von f´mit den Wendestellen von f.
Analoges für g,g´ und h,h´.
Dann sollte es klar werden!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 19:29: |
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Achso, beim Autofahren: Entsprechendes bei Lenkraddrehung über 12 Uhr von einer Links- in eine Rechtskurve!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
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