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mmm
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 23:24: | 
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Hallo!
wie leitet man einen Ausdruck für die Periode T (od. auch p) für die "allgmeine" Sinusfunktion her?
f(x) = A sin(w·x + k) ; T = ?
Ich versuchete den Ansatz f(x + T) = f(x) . ging so aber nicht(?).
Vielen Dank vorweg.
M f G
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 00:33: |
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f(x)=A*sin(wx+k)
Periode beim sinus ist 2pi, also könnte man sagen, der Sinus bzw. die Periode wird "geprägt" durch die Funktionswerte 0 und 2pi.
Also setze wx´+k=0 und wx´´+k=2pi:
Die Differenz zwischen x´´ und x´ist ein Maß für die Periode:
i) wx´+k=0
ii) wx´´+k=2pi
=>
x´=-k/w und x´´=(2pi-k)/w
x´´-x´=T
=>
2pi/w-k/w-(-k/w)=2pi/w=T
Beispiel:
f(x)=2sin(-3x+7) (x im Bogenmaß. also x aus IR)
Mit sin(-x)=-sin(x)
=>
f(x)=2sin(-(3x+(-7))=-2sin(3x+(-7))=
Setze 3x´+(-7)=0 => x´=7/3
Setze 3x´´+(-7)=2pi => x´´=(2pi+7)/3
Berechne x´´-x´=(2pi+7)/3-(7/3)=(2/3)*pi
Oder aber mit deinem Ansatz:
f(x+T)=f(x)
A*sin(w(x+T)+k)=A*sin(wx+k)
<->
A*sin(wx+wT+k)=A*sin(wx+k)
<->
sin(wx+wT+k)=sin(wx+k)
<->
sin((wx+k)+wT)=sin(wx+k)
Da du weißt:
sin((wx+k)+2pi)=sin(wx+k)
=>
wT=2pi
<->
T=2pi/w
Mit freundlichen Grüssen
M. |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 00:48: |
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Korrigiere:
...wird "geprägt" durch die Funktionswerte an 0 und 2pi.
Mit freundlichen Grüssen
M. |
mmm
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 14:47: |
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Wunderbar! Vielen Dank
Berechnet man, nach dem ersten Verfahren, allgemein die Periode einer Funktion?
M f G |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 23:38: |
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Hallo mmm,
das erste Verfahren ist eine Alternative, die Periode zu berechnen. Dies ist sicherlich genauso gut! Hatte ich mir mal (in meiner Schulzeit in der 10en Klasse) überlegt. Ist vom Ergebnis her dasselbe wie bei deiner Idee (übrigens hatte ich die zwar auch schon mal benutzt, aber im Laufe der Zeit wieder vergessen. Gut, dass du sie nochmal erwähntest! ).
Wie du am Ergebnis siehst, ist es egal, welches Verfahren du verwendest. Du kommst immer zu dem Ergebnis:
T=2pi/w (wobei ich immer so umforme, dass w positiv ist!)
Du kannst natürlich auch einfach diesen Audruck auswendig lernen.
Die Logik, die dahinter steckt, ist eigentlich die folgende:
Ist z.B. f(x)=sin(ax), so hast du an der Stelle x0/a den Funktionswert, den du bei der Funktion g(x)=sin(x) an der Stelle x0 hast!
[x0 ist hier und im folgenden ein x-Wert, NICHT x*0!!!]
Ist also z.B. f(x)=sin(3x), so hast du an x0/3 f(x0/3)=sin(3*(x0/3))=sin(x0)
Also wird auch die Periode gedrittelt!
Bei t(x)=sin((1/2)x) hast du erst bei 2x0 den Funktionswert t(2x0)=sin((1/2)*2x0)=sin(x0), also wird hier die Periode verdoppelt!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
mmm
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 23:06: |
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Hi!
Nochmal vielen Dank!
Ja klar, der Ausdruck (T=2pi/w) steht in jd. FS.
Die Herleitung ist aber meines Erachtens wesentlichst. Und die habe ich jetzt, dank Deines Rates.
M f G
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 19:38: |
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Bitte bitte!
Deine Idee war die Benutzung einer allgemeinen Definition, meine die, das Problem auf ein bekanntes zurückzuführen!
Beides ist erlaubt!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
mmm
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 15:27: |
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Hi - das ist ja wie ein Lob für mich, klar bin ich daran interessiert stets alles aus der Allgemeinheit herzuleiten bzw. alles allgemein zu betrachten.
Denn als nächstes brauche ich die Periode der allgm. Tangensfkt. y = a tan(w x + k); und weiter möchte ich (ganz allgm.) Periodische Funktionen
f(x)= f(x+T) betrachten. Klar ist mir dabei sehr an allgemeinen Rechenverfahren gelegen. Doch jeweils im Anschluß daran bleibt Zeit sich mit speziellen Verfahren zu beschäftigen.
Also in diesem Sinne - machs gut.
M f G
PS: Weißt Du /oder jmd. anderes evtl. weitere Bsp.e für Periodische Funktionen (außer sin, cos,...) ? Bzw. sonst etwas wissenswertes über Per.-Fkt.en ? Bin dankbar für jd. Rat!
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