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Beitrag |
    
Franz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 22:13: | 
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Hallo,
habe im Unterricht mal wieder nicht aufgepasst. Ich denke die Aufgaben sind einfach zu lösen. Wenn das jemand für mich (ggf. in mehreren Schritten und mit Erklärung) erledigen könnte, wäre das echt nett.
Aufg 1: Sind die folgenden Vektoren linear abhängig?
a=(8,-4); b=(-4,2)
Aufg 2: Sind folgende Vektoren komplanar?
a=(6,-1,5); b=(7,9,3); c=(-4, 21, -9); d=(8,19,1)
Vielen Dank im Vorraus
Franz |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juni, 2002 - 00:07: |
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Aufgabe 1 ist sehr einfach:
Vektoren a1,a2,a3,...,an heißen linear unabhängig, wenn aus
k1*a1+k2*a2+k3*a3+...kn*an=0-Vektor (mit k1,k2,k3,...,kn aus IR) folgt, dass k1=k2=k3=...=kn=0 (beachte: hier ist 0 die reelle Zahl!).
Andernfalls linear abhängig.
Also:
k1*(8,-4)+k2*(-4,2)=(0,0)
Daraus ergeben sich 2 Gleichungen:
I) 8k1-4k2=0 (oberste Zeile, wenn du Vektoren untereinander schreibst)
II) -4k1+2k2=0 (zweite Zeile)
I) <-> k2=2k1
II) <-> k2=2k1
Die einzig zu erfüllende Bedingung ist also:
k2=2k1
Wählst du nun k1=1 ->k2=2
Also ist (8,-4)+2*(-4,2)=(0,0) und da damit ein k1<>0 existiert (auch k2, aber k1<>0 reicht schon), so dass k1*(8,-4)+k2*(-4,2)=(0,0) gilt, sind die Vektoren linear abhängig!
Komplanar bedeutet, wenn ich mich recht erinnere, dass die Vektoren in einer Ebene liegen.
Wenn es das bedeutet, gehst du folgendermaßen vor:
(
1. Möglichkeit:
Du bildest die Differenzvektoren (b-a), (c-a). Nun untersuchst du diese auf lineare Abhängigkeit (bei 2 Vektoren: Ist der eine ein Vielfaches des anderen, so sind sie linear abhängig, andernfalls nicht!). Du nimmst diese, wenn sie linear unabhängig sind. (Ansonsten müßten die Vektoren eh dann zwingend komplanar sein (siehe alternative Mögl.)!).
Ich gehe mal davon aus, dass sie [(c-a) und (b-a)]linear unabh. sind. Dann legst du die Ebene fest
E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a) (x ist hier ein Vektor, also x=(x1,x2,x3) und r,s sind reelle Zahlen).
Nach "Konstruktion" der Ebene liegen (hier) a,b,c in der Ebene. Nun setzt du (hier) für x den Vektor, der noch geprüft werden muss, ein (hier: d).
Nun hast du ein Gleichungssystem:
3 Gleichungen (=3 Zeilen der Vektoren) mit 2 Variablen (r,s).
Nun nimmst du 2 Gleichungen dieses Gleichungssystems und berechnest daraus s und r (falls widerspruchsfrei). Die beiden Ergebnisse setzt du in die noch unbenutzte Gleichung ein. Ist alles widerspruchsfrei (z.B. r=3, s=9 -> 0=0 [Achtung, dass ist nicht die errechnete Lösung, sondern nur beispielsweise]), so sind die Vektoren komplanar. Erhältst du aber an irgendeiner Stelle einen Widerspruch (z.B. 0=5 oder r=3 und r=7), so sind sie nicht komplanar.
)
Alternative Möglichkeit:
Untersuche die 3 (Differenz-)Vektoren (d-a), (c-a) und (b-a) auf lineare (Un-)Abhängigkeit. Sind sie linear unabhängig, so sind die Vektoren nicht komplanar, ansonsten sind sie komplanar (also bei linearer Abhängigkeit!).
Tschau
Gast2 |
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