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Beitrag |
    
glühwürmchen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 17:16: | 
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hallo!
was bedeutet denn der begriff stetigkeit?
wann ist eine funktion auf einem interwall stetig?
ich weiß es ist sicher eine einfache frage - aber ich bin mir nicht sicher 
vielen dank!
glühwürmchen |
Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 18:22: |
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Hi Glühwürmchen,
die einfachste Definition von Stetigkeit:
Eine Funktion ist stetig, wenn sie lückenlos ist.
D.h. Man kann die Funktion ohne den Stift irgendwann zwischendurch abzusetzen und neu anzusetzen.
Stetigkeit=Lückenlosigkeit
Gruß N.
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glühwürmchen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 18:50: |
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danke niels! |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 20:03: |
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Hier auch mal ein paar Beispiele:
f(x):=e^x und g(x):=k*x (k aus IR) und j(x):=x^n (mit n<oo aus IN) sind stetig.
Insbesondere sind Verknüpfungen stetiger Funktionen wieder stetig. So wäre also sin(e^x) auch stetig, da sin(x) stetig und e^x stetig. Etc.
Beispiele für nichtstetige Funktion:
f(x):=x^3 falls x>0
f(0):=5
f(x):=x^2 falls x<0 (ACHTUNG: f(x) ist eine Funktion, die auf verschiedenen Intervallen anders definiert ist).
Hier ist f nicht stetig an 0!!! (Denn |f(x)-f(0)|=|x^3-5|>|(1/8)-5|=39/8 bei x positiv, x<(1/2) und x gegen 0. Wäre f an 0 stetig, so müßte |f(x)-f(0)|->0 für alle Folgen in IR mit dem Grenzwert 0 gelten)
Oder f(x):=1(Q) , wobei 1(Q) bedeutet, dass
f(x)=1 falls x aus Q und f(x)=0 falls x aus IR\Q.
Auch diese Funktion ist nicht stetig!
(Betrachte z.B. die Folgen definiert durch
x_n:=(3/4)+(1/n)
und y_n:=(3/4)+(Wurzel(2)/n)) Dann gilt bei n->oo:
lim (n->oo) x_n=lim (n->oo) y_n=3/4, aber lim(n->oo) f(x_n)=1 und lim (n->oo) f(y_n)=0
Also gibt es in jeder beliebig kleinen Umgebung von x=(3/4) andere x Werte, die sehr nahe an 3/4 liegen, aber deren Abstand der Funktionswerte 1 ist. Somit ist f nicht stetig.
Diese Funktion kannst du im übrigen auch gar nicht (in einer Linie) zeichnen, sondern du müßtest immer hin-und herspringen mit dem Stift (mit Absetzen). Das Problem ist, dass es in jedem noch so kleinen (nicht einpunktigen) Intervall mit Grenzen aus Q immer wieder Zahlen aus IR\Q gibt.)
PS: Die Funktion 1(Q) mußt du nicht direkt verstehen, kannst aber mal drüber nachdenken. Ich finde nur, man sollte es mal gehört haben!
Tschau
Gast2 |
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