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Ebene im Raum

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Lineare Algebra » Sonstiges » Archiviert bis 10. Juni 2002 Archiviert bis Seite 3 » Ebene im Raum « Zurück Vor »

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lima
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 16:23:   Beitrag drucken

Wie lautet die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte P(1/0/2), Q(3/3/3) und R(-4/1/0)?
Liegt der Punkt S(1/1/1) auf dieser Ebene?

Liegt der Nullpunkt in der Ebene des Dreiecks ABC mit A(1/-3/2), B(4/-3/2) und C(3/0/2)?
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Flo
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 18:07:   Beitrag drucken

Eine Ebene kannst du durch einen Punkt und 2 Vektoren bestimmen.
E: P+ u * Vektor PQ + v * Vektor PR
Vektor PQ = Endpunkt - Anfangspunkt:
PQ = (3-1 / 3-0 / 3-2) = (2/3/1)
PR = (3-(-4) / 3-1 / 3-0) = (7/2/3)
E: (1/0/2) + u*(2/3/1) + v*(7/3/2)
Um auf die allgemeine Gleichung zu kommen, mache ich das Vektorprodukt von PQ und PR.
Das gibt den Normalvektor (A/B/C).
Die allgemeine Form lautet: E: Ax + By + Cz + D=0
(2/3/1)x(7/3/2) = (3*2-1*3 / 1*7-2*2 / 2*3-7*3) = (3/3/-15)
Der Normalvektor lautet (3/3/-15)
In die Form eingesetzt: 3x + 3y - 15z + D=0
Dann setzt man den Punkt P ein:
1*3 + 0*3 - 2*15 + D=0
D-27=0
D=27
in E einsetzen:
E: 3x + 3y - 15z + 27=0
Um zu prüfen, ob S in E ist, setze ihn ein und wenn die Gleichung stimmt, liegt er in der Ebene E.
1*3 + 1*3 - 1*15 + 27=0
3-15+27=0
15=0 --> Die Gleichung stimmt nicht, also ist S nicht in der Ebene.


E: (1/-3/2) - u*AB + v*AC
AB: (3/0/0)
AC: (2/3/0)
E: (1/-3/2) + u*(3/0/0) +v*(2/3/0)
Normalvektor auf die Ebene:
(3/0/0)x(2/3/0) = (0/0/9)
0x + 0y + 9z + D=0
9z+D=0
Punkt A einsetzen:
2*9+D=0
D=-18
E: 9z-18=0
Dann der Nullpunkt (0/0/0) einsetzen:
9*0-18=0
Diese Gleichung geht wieder nicht auf --> Nullpunkt liegt nicht in der Ebene.

Hoffentlich habe ich keinen Fehler gemacht ;-)

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