Autor |
Beitrag |
lima
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 16:23: |
|
Wie lautet die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte P(1/0/2), Q(3/3/3) und R(-4/1/0)? Liegt der Punkt S(1/1/1) auf dieser Ebene? Liegt der Nullpunkt in der Ebene des Dreiecks ABC mit A(1/-3/2), B(4/-3/2) und C(3/0/2)? |
Flo
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Juni, 2002 - 18:07: |
|
Eine Ebene kannst du durch einen Punkt und 2 Vektoren bestimmen. E: P+ u * Vektor PQ + v * Vektor PR Vektor PQ = Endpunkt - Anfangspunkt: PQ = (3-1 / 3-0 / 3-2) = (2/3/1) PR = (3-(-4) / 3-1 / 3-0) = (7/2/3) E: (1/0/2) + u*(2/3/1) + v*(7/3/2) Um auf die allgemeine Gleichung zu kommen, mache ich das Vektorprodukt von PQ und PR. Das gibt den Normalvektor (A/B/C). Die allgemeine Form lautet: E: Ax + By + Cz + D=0 (2/3/1)x(7/3/2) = (3*2-1*3 / 1*7-2*2 / 2*3-7*3) = (3/3/-15) Der Normalvektor lautet (3/3/-15) In die Form eingesetzt: 3x + 3y - 15z + D=0 Dann setzt man den Punkt P ein: 1*3 + 0*3 - 2*15 + D=0 D-27=0 D=27 in E einsetzen: E: 3x + 3y - 15z + 27=0 Um zu prüfen, ob S in E ist, setze ihn ein und wenn die Gleichung stimmt, liegt er in der Ebene E. 1*3 + 1*3 - 1*15 + 27=0 3-15+27=0 15=0 --> Die Gleichung stimmt nicht, also ist S nicht in der Ebene. E: (1/-3/2) - u*AB + v*AC AB: (3/0/0) AC: (2/3/0) E: (1/-3/2) + u*(3/0/0) +v*(2/3/0) Normalvektor auf die Ebene: (3/0/0)x(2/3/0) = (0/0/9) 0x + 0y + 9z + D=0 9z+D=0 Punkt A einsetzen: 2*9+D=0 D=-18 E: 9z-18=0 Dann der Nullpunkt (0/0/0) einsetzen: 9*0-18=0 Diese Gleichung geht wieder nicht auf --> Nullpunkt liegt nicht in der Ebene. Hoffentlich habe ich keinen Fehler gemacht ;-) |
|