| Autor |
Beitrag |
    
Helge M. (Icoon)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. November, 2000 - 16:22: | 
|
Brauche hilfe bei folg. Aufgabe:
Im Dreieck 0AB ist Vektro(a)=Vektor(0A) und Vektor(b)=Vektor(0B), Vektor(0E)=k+Vektor(a) und Vektor(0F)=m*Vektor(b)
EB und AF schneiden sich in T:
Berechne: Vektor(AT), Vektor (BT)
Berechne: Verhältnis ET:TB und AT:TF
Berechne T für A(14|0), k=3/2 und B (12|12), m=3/4
zeige: Sind AB und EF parallel, so liegt T auf der Seitenhalbierenden von [AB] oder ihrer Verlängerung. |
thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 23:56: |
|
Vektorrechnung wird ausführlich erklärt im Online-Mathebuch
Meinst Du Vektor(0E)=k*Vektor(a)? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. November, 2000 - 08:22: |
|
Hi Helge,
Diese Aufgabe aus dem Gebiet der Vektorrechnung
ist von grundsätzlicher Bedeutung.; ich führe daher
eine ausführliche Lösung vor.
1.Bezeichnungen
Eine Skizze mit den gegebenen und gesuchten
Punkten und Vektoren diene als Grundlage zur
Lösung.
Es gilt:
Vektor a = OA, Vektor b = OB,
Vektor OE = k * a , Vektor OF = m * b
( k und m sind gegebene skalare Konstanten ,
also reelle Zahlen )
Ansätze:
Vektor BT = s * BE , Vektor FT = t * FA
( s und t sind zu bestimmende skalare Grössen ,
also reelle Zahlen )
2.Spiel mit Vektoren
Der Vektor BE lässt sich als Vektordifferenz OE - OB
darstellen, also:
BE = OE - OB = k * a - b.................................................(1)
Der Vektor FA lässt sich als Vektordifferenz OA - OF
darstellen, also:
FA = OA-OF = a - m * b ..................................................(2)
Daraus ergeben sich gemäss Ansatz die Vektorbeziehungen:
Vektor BT = s * BE = s* (k * a - b ).....(nach (1))............(3)
Vektor FT = t * FA = t * (a - m* b ) .....(nach (2).............(4)
3.Darstellung des Vektors OT auf zwei verschiedene Arten
a) OT lässt sich als Vektorsumme OB + BT darstellen, also:
OT = OB + BT ,mit (3) kommt:
OT = b + s* ( k*a - b , geordnet:
OT = (s k) * a +( 1- s ) * b...............................................(5)
Achtung: Die Klammerinhalte sind reelle Zahlen (Skalare)
OT, a und b sind Vektoren !
b) OT lässt sich als Vektorsumme OF + FT darstellen , also
OT = OF + FT, mit (4) kommt
OT = m * b + t* ( a - m * b ) ,geordnet:
OT = t *a + ( m - m * t ) * b............................................(6)
4.Gleichsetung der beiden Darstellungen für OT
Die beiden Darstellungen von OT als Linearkombinationen der
(linear unabhängigen Vektoren ) a und b geben Anlass zu einem
Koeffizientenvergleich:
Die Vektorgleichungen (5) und (6) liefern zwei skalare
Gleichungen für s und k ,nämlich:
t = s k
1 - s = m - mt
Aus diesen Gleichungen berechnen wir
s = (1-m) / (1 - mk) und...........................................................(7)
t = (1-m) * k / (1 - mk )............................................................(8)
Damit ist der erste Teil der Aufgabe gelöst.
Der Vektor AT lässt sich so darstellen:
AT = FT - FA = t* FA - FA = ( t - 1 )* FA mit
t - 1 = ( k - 1 ) / (1 - m k ) wegen (8) und
FA = a - m * b wegen (2)
Für den Vektor BT gilt nach dem Ansatz im 1.Teil:
BT = s * BE , also nach (1):
BT = s * ( k*a - b ), s entnehmen wir (7)
Anmerkung
Resultat des numerischen Beispiels:
Koordinaten von T:
xT = - 6 , yT = 36
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
