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Beitrag |
    
yellow
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 13:52: | 
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Hi,
wie ist das Konvergenzverhalten von an=sin(n).
Ich vermute, die Folge divergiert. Nur, wie kann ich das beweisen?
yellow |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 14:39: |
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Das liegt an der Sinusfunktion. Sie ist periodisch und nimmt zwischen 0 und 2p alle Y-Werte zwischen 1 und -1 an. Und da sie periodisch ist, tut sie das auch im unendlichen!
MFG
Robert
Robert Klinzmann
Schüler des EHGs
mailto: Emperor2002@Web.de
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yellow
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 21:00: |
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Danke Robert für deine Antwort, aber sie überzeugt mich nicht wirklich.
yellow |
Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 78
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 17:38: |
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Je nachdem, ob n als RAD oder (ALT)GRAD zu verstehen ist,
ändert sich die Aufgabenstellung.
Also ? |
yellow
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Juni, 2002 - 18:03: |
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n ist in RAD
yellow |
Tyll (tyll)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 07:31: |
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Hi!
Ist eigentlich egal.
sin(n) ist keine Nullfolge, deswegen kann das mit der Reihe nicht klappen.
Tyll |
Xell (vredolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 80
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 12:38: |
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c_n = n/(n+1) ist auch keine Nullfolge, besitzt aber trotz-
dem einen Grenzwert. |
Tyll (tyll)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 14:26: |
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Ach so, ja, die FOLGE!
Ich hatte REIHE gedacht.... |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 23:38: |
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Eine Idee, mit der man immerhin schon mal nur 3 mögliche Grenzwerte erhalten würde:
Angenommen, sin(n) wäre konvergent mit lim (sin(n)):=a (n->oo)
Betrachte die Teilfolge n´=2k, wobei k aus IN.
Dann gilt:
sin(2k)=2sin(k)cos(k)=2sin(k)*Wurzel(1-sin²(k))
Da lim sin(k):=a (k->oo), so folgt (da jede Teilfolge den selben GW hat):
a=2a*Wurzel(1-a²)
1. Fall: a=0
2,3. Fall: Mit a<>0 folgt:
1=4(1-a²) <-> (1-a²)=(1/4) <-> a²=(3/4)
also dann entweder
2. Fall: a={Wurzel(3)}/2 oder
3. Fall: a=-{Wurzel(3)}/2
Ich denke, dass man mit geschickt gewählten weiteren Teilfolgen und Additionstheoremen wieder andere GW erhält und somit den Fall 2,3 ausschließen kann. a=0 finde ich trivial, dass das kein GW sein kann, mir fällt aber kein möglicher Beweis ein (ist ja auch schon spät)! Vielleicht ergibt sich das auch aus weiteren Teilfolgen mithilfe der Additionstheoremen.
Tschau
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 23:52: |
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Hmmm, hab gerade überlegt, dass man a<>0 doch ausschließen kann, denn:
da nach Annahme sin(n) konvergent -> cos(n) ist auch konvergent mit lim (cos(n))=Wurzel(1-a²) (n->oo). Also konvergiert auch cos(2k) gegen Wurzel(1-a²) (k->oo) nach Voraussetzung. Damit:
Betrachte wieder n´=2k:
Wurzel(1-sin²(2k))
=cos(2k)=cos(k+k)=cos²(k)-sin²(k)
->
Wurzel(1-a²)=Wurzel(1-a²)-a²
->
a=0 kommt nur noch in Betracht!
Oder täusch ich mich?
Tschau
Gast2 |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Juni, 2002 - 10:33: |
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Betrachte dn=(sin(n)-sin(n-1))²+(sin(n)-sin(n+1)²
Umformen ergibt
dn= 2-4*cos(1)+2*cos²(1) + 4*(cos(1)-cos²(1))*cos²(n) ~ 0.4226 + 0.9935*cos²(n)
Für alle n ist also dn > 0.4225 und daher
|an-an-1|+|an-an+1| > Ö0.4225 = 0.65
Daraus folgt:
|an-an-1| > 0.325 oder |an-an+1| > 0.325 für alle n.
Dies ist ein Widerspruch zum Cauchy-Kriterium: an ist nicht konvergent.
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