ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe: Exponentialfunktion

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Exponentialfunktion

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Bianca Röhl (bianca007)

Mitglied
Benutzername: bianca007

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 03-2002

Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 15:42:

a)Untersuche die Funktion e^x+e^-x (-2) (die -2 gehört nicht mehr zum Exponent) auf Null- Extrem- und Wendestellen.
b)Welche ganzrationale Funktion g 2. Ordnung stimmt für x0=0 sowohl im Funktionswert als auch in den beiden ersten Ableitungen mit f überein?
c)Die Normale in einem beliebigen (vom Ursprung verschiedenen) Punkt P(u/v) des Schaubildes von f schneide die y-Achse in S(0/c). Gegen welchen Grenzpunkt strebt S, wenn P sih dem Ursprung nähert?

Danke im Voraus

A.K. (akka)

Erfahrenes Mitglied
Benutzername: akka

Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 05-2002

Veröffentlicht am Freitag, den 31. Mai, 2002 - 18:15:

Hallo Bianca

a) f(x)=e^x+e^-x-2

Nullstellen: f(x)=0
<=> e^x+e^-x-2=0
<=> e^x+(1/e^x)-2=0 |*e^x
<=> e^2x-2e^x+1=0
<=> (e^x-1)²=0
<=> e^x-1=0 |+1
<=> e^x=1
<=> x=0
mit f(0)=e⁰+e⁰-2=1+1-2=0 folgt N(0|0) ist Nullstelle.

Ableitungen bilden:
f'(x)=e^x-e^-x
f"(x)=e^x+e^-x
f"'(x)=e^x-e^-x

Extrema: f'(x)=0
<=> e^x-e^-x=0
<=> e^x-(1/e^x)=0 |*e^x
<=> e^2x-1=0 |+1
<=> e^2x=1
<=> 2x=0
<=> x=0

wegen f"(0)=e⁰+e⁰=1+1=2>0 hat die
Funktion bei x=0 ein Minimum

Wendepunkte: f"(x)=0
<=> e^x+e^-x=0 |*e^x
<=> e^2x+1=0 |-1
<=> e^2x=-1
<=> (e^x)²=-1
=> keine Lösung; also kein Wendepunkt.

b) gesucht eine Funktion g(x)=ax²+bx+c
mit g(0)=f(0) <=> c=0
g'(x)=2ax+b
g"(x)=2a
f'(0)=g'(0) <=> 0=b
f"(0)=g"(0) <=> 2=2a <=> a=1
=> g(x)=x² ist gesuchte Funktion

Mfg K.

Katharina (engelsche)

Neues Mitglied
Benutzername: engelsche

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2002

Veröffentlicht am Montag, den 13. Januar, 2003 - 21:26:

Kann mir bei dieser aufgabe jemand helfen? Die ist mir wirklich total unklar!

Gegeben ist die in R definierte Funktionenschar
fa : x --> fa(x) = e^x*(a- e^x) (das a bei dem f ist ein kleiner index,konnte ich hier aber nicht so schreiben)
Der Graph von fa heißt Gfa (fa ist als ein kleiner Index geschrieben)

1.
a) Bestimmen sie die Schnittpunkte des Graphen Gfa mit den Koordinatenachsen!
b) Untersuchen sie das Verhalten von fa(x) für Betrag von x --> + unendlich!
c) Berechnen sie die lokalen Extrempunkte des Graphen Gfa!
d) Zeigen Sie, dass Wa ( ln a/4 ; 3*a^2/16) Wendepunkte des Graphen Gfa ist!
e) Für welche Steigung a hat die Wendetangente die Steigung 1?

Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte! Danke im Voraus!

Katharina (engelsche)

Junior Mitglied
Benutzername: engelsche

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2002

Veröffentlicht am Montag, den 13. Januar, 2003 - 21:27:

sorry noch eine kleiner ergänzung es handelt sich um die funktion mit a E R+

Friedrich Laher (friedrichlaher)

Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 847
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 12:33:

(es ist etwas mühsam, einen_Index zu erzeugen, oder auch^Exponenten aber möglich;
siehe Formatieren)

aa) Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei x = 0, y = e⁰*(a - e⁰) = 1*(a-1) = a-1

ab) Schnittpunkt mit x-Achse

e^x(a-e^x) = 0
da
e^x=0 nicht möglich ( nur lim_x->-ooe^x=0 )
muß
a-e^x = 0 gelöste werden also x = ln(a); deshalb auch die Bedingung a E R+

b) x-> +oo: der Faktor e^x geht gegen +oo, der Faktor (a-e^x) gegen -oo

also das Produkt -> -oo; da für x -> -oo e^x -> 0, geht das Produkt gegen 0

c) Ableitung = 0:

[e^x(a-e^x)]'= e^x(a-e^x)-e^2x = e^x(a - 2e^x) = 0
also
a = 2e^x; x = ln(a/2); f_a( ln(a/2) ) = (a/2)*(a - a/2) = a²/4

d) Zweite Ableitung = 0:

[e^x(a - 2e^x)]' = e^x(a - 2e^x) - 2e^2x = e^x(a - 4e^x)=0
also
a = 4e^x, x = ln(a/4) wie behauptet.

d) Die Steigung s(a) der Wendetangente ist f'_a( ln(a/4) )

also
s(a) = e^ln(a/4)(a - e^ln(a/4)) = (a/4)(a - 2a/4) = a²/8,
also
s(a) = 1 = a²/8; a = 2*Wurzel(2)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

Katharina (engelsche)

Junior Mitglied
Benutzername: engelsche

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 19:40:

vielen dank,aber wieso schreibst du bei der letzten aufgabe statt e^ln(a/4) das (a/4) im nächsten schritt und statt dem -e^ln(a/4) in der klammer im nächsten schritt -2a/4 anstatt wieder a/4?

Friedrich Laher (friedrichlaher)

Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 855
Registriert: 02-2002

Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 20:17:

Entschuldigung, die 1te Ableitung ist natürlich
e^x(a - 2e^x)
es
hätte also lauten müssen
s(a) = e^ln(a/4)(a - 2e^ln(a/4))
das
Ergebnis stimmt dann wieder.

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