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Beitrag |
    
Luca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 16:42: | 
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Hi Ihr,
hab ein paar Fragen, kann mir jemand helfen?
1.
f(x) = cos x / sin x
Die Ableitung soll gebildet werden.
u = cos x
u`= -sin x
v = cos x
v`= sin hoch 2 x
u´. v + u . v` / v hoch 2
-sin x . sin x - cos x . cos x / sin hoch 2 x
-sin hoch 2 x - cos hoch 2 x / sin hoch 2 x
= - cos hoch 2 x
Das hätte ich als Ergebnis herausbekommen, das richtige ist aber glaub ich
-1/ sin hx hoch 2 Warum??
2. Integral
Integral von a bis 0 für (1/2 x +1/2) dx = 3/4
Stamm: (1/2) .(1/2) x hoch 2 +(1/2) x = 3/4
Wieso taucht in der Stammfunktion jetzt plötzlich 3x einhalb auf?
3. Ableitung von
f(x) = (Wurzel aus x hoch 2 + 1) . sin x
Ist das einfach
f`= (1 / 2 mal Wurzel aus x hoch 2 + 1 ) . cos x?
4. Und dann hab ich noch eine Aufgabe mit der ich überhaupt nicht zurecht komme:
Gegeben ist ein Kegel, dem ein kopfstehen der Kegel einbeschrieben ist.
Die Spitze des inneren Kegels liegt auf der Grundfläche des äußeren Kegels, dessen Radius r = 1cm und dessen Höhe h = 5 cm beträgt.
Berechne den Radius x und die Höhe des inneren Kegels, wenn dieser maximales Volumen besitzen soll.
Wie mache ich das, das läuft doch irgendwie über die Extremalbedingung und die Nebenbedigung oder, aber wie genau?
Vielen vielen Dank schon mal,
Luca |
Christian Schmidt (christian_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 240
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 19:01: |
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Hi Luca
Ich mach mal die 1.
Also zunächst mal gilt folgende Regel:
f(x)=u(x)/v(x)
=> f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))^2
Wenn man mal davon absieht, dass du keine Klammern setzt, ist nur das "+"-Zeichen falsch bei dir.
Jetzt machst du aber beim Ableiten der einzelnen Teile auch ein paar Fehler.
u=cos(x)
u'=-sin(x)
v=sin(x) [Da muss der Term aus dem Nenner hin!]
v'(x)=cos(x)
=>
f'(x)=(-(sin(x))^2-(cos(x))^2/(sin(x))^2
Im Zähler klammerst du jetzt einfach -1 aus und fasst benutzt die bekannte Beziehung:
(sin(x))^2+(cos(x))^2=1, dann bekommst du das richtige Ergebnis.
MfG
C. Schmidt |
A.K. (akka)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 19:08: |
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Hallo Luca
1. f(x) = cos x / sin x
wird mit der Quotientenregel abgeleitet
u=cosx ; v=sinx
u'=-sinx; v'=cosx
(u/v)'=(u'v-uv')/v²
f'(x)=(-sinx*sinx-cosx*cosx)/sin²x
=(-sin²x-cos²x)/sin²x
=-(sin²x+cos²x)/sin²x wegen sin²x+cos²x=1 folgt
=-1/sin²x
2. ò0 a(1/2 x +1/2)dx = 3/4
Die Stammfunktion von xn wird gebildet indem
man den Exponenten um 1 erhöht und durch den
neuen Exponenten dividiert; also
g(x)=xn => G(x)=xn+1/(n+1) ist eine Stammfunktion.
Damit ist eine Stammfunktion von (1/2)x
(1/2)*x²/2 oder anders geschrieben
(1/2)*(1/2)*x
entsprechend ist eine Stammfunktion von 1/2
wegen 1/2=(1/2)*x0
(1/2)*x1/1=(1/2)*x
Daraus folgt
ò0 a((1/2)x+(1/2))dx=3/4
<=> |(1/2)*(1/2)x²+(1/2)x|a0=3/4
<=> |(1/4)x²+(1/2)x|a0=3/4
<=> (1/4)a²+(1/2)a=3/4 |*4
<=> a²+2a=3 |-3
<=> a²+2a-3=0
=> a1,2=-1±Ö(1+3)
=-1±2
=> a1=-1+2=1 und a2=-1-2=-3
3. f(x)=Ö(x²+1)*sinx=(x²+1)1/2*sinx
ableiten mit Produktregel
u=(x²+1)1/2
=> u'=(1/2)*(x²+1)-1/2*2x=x/Ö(x²+1)
v=sinx
=> v'=cosx
(uv)'=u'v+uv'
f'(x)=(x/Ö(x²+1))*sinx+Ö(x²+1)*cosx
=(x*sinx+(x²+1)cosx)/Ö(x²+1)
=(x*sinx+x²*cosx+cosx)/Ö(x²+1)
4. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit Höhe h=5 und Basis c=2r=2
In dieses Dreieck zeichne ein kopfstehendes Dreieck mit der Spitze im Höhenfußpunkt.
Das innere Dreieck habe die Höhe y und den Radius x.
Nach dem Strahlensatz gilt nun
x/(h-y)=r/h
x/(5-y)=1/5
<=> 5x=5-y <=> y=5-5x ist Nebenbedingung
Für das Volumen gilt
V=(1/3)*p*x²*y
=> V(x)=(1/3)px²(5-5x)=(1/3)p(5x²-5x³)
=> V'(x)=(1/3)p(10x-15x²)=0
<=> 10x-15x²=0
<=> x(10-15x)=0
=> x=0 oder 15x=10<=>x=10/15=2/3
wert mit 2. Ableitung auf Maximum prüfen.
Mfg K.
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Luca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 05:54: |
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Danke Euch und einen schönen Tag noch
Luca |
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