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Beitrag |
    
qmaestroq
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 09:34: | 
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Hallo Leute, ich bei folgender Aufgabe Probleme, vielleicht weiß ja jemand von euch Bescheid...
Die stetige Zufallsvariable X besitzt eine Dichte der Art
( x² + c für 0 <= x <= 1;
f(x) = {
( 0 sonst .
a) Für welche Konstante c ist f Dichte?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(0,25 <= X <= 0,75).
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
d) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen
12X+3
e) Wie lautet die Standardisierte der Zufallsvariablen X? |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 12:12: |
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HI!
a) Damit eine Dichte vorliegt, muß gelten:
FX := ò-¥ +¥fXdx = 1
<=> ò0 1fXdx = 1
<=> 1/3*x³ + cx|01 = 1
<=> 1/3 + c = 1
<=> c = 2/3
Also fX = x²+ 2/3 und
FX = 1/3x³ + 2/3x
Damit folgt dann b)
P(0,25 <= X <= 0,75) = FX(0,75)-FX(0,25) = ò0 3/4fXdx - ò0 1/4fXdx = ò1/4 3/4fXdx = 1/3*(3/4)³ + 2/3*3/4 - 1/3*(1/4)³ - 2/3*1/4 = 27/192 + 1/2 - 1/192 - 1/6 = 26/192 + 2/6 = 90/192 = 0,46875
c) Der Erwartungswert ergibt sich nach:
E(X) = ò0 1 x*fX(x)dx = ò0 1 x3+ 2/3*x dx = 1/4 + 1/3 = 7/12
und die Varianz:
V(X) = E(X-E(X)) = ò0 1(7/12-x)²*fX(x)dx = 1/5 - 7/24 + 49/432 + 2/9 - 14/36 + 98/432 = 1/5 - 51/432 = 0,0819444
d) mit X'=12X+3 ergibt sich nach den gängigen Regeln E(X') = E(3+12X) = 3+12*E(X) und V(X') = V(3+12X) = 12²V(X)
e) eine allgemeine standardisierung ergibt sich als X~ = (X-E(X))/V(X)
Gruß und hoffentlich ohne viele Rechenfehler
Tyll
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