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Beitrag |
    
Sylvia
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 12:40: | 
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Hallo! Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? In einem beliebigen Dreieck seien ha, hb und hc die Höhen und p der Inkreisradius. Man beweise, dass stets ha+hb+hc größer gleich 9p gilt. Gibt es ein Dreieck , für das ha+hb+hc=9p gilt? Danke. |
A.K. (akka)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: akka
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Mai, 2002 - 09:59: |
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Hallo Sylvia
ha+hb+hc=9p gilt im gleichseitigen Dreieck.
Begründung:
Im gleichseitigen Dreieck sind die Höhen alle gleich lang; also ha=hb=hc
=> 3hc=9p
Außerdem sind im gleichseitigen Dreieck die Höhen gleichzeitig die Seitenhalbierenden;
d.h. Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt sind gleich.
Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt,
gilt für den Inkreisradius p=(1/3)*h und damit
ha=hb=hc=3p
Insgesamt folgt nun
ha+hb+hc=3*hc=3*3p=9p
Für den Rest hab ich leider noch keine Lösung.
Sie würde mich aber sehr interessieren.
Mfg K. |
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