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Beitrag |
    
Thomas123
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 22:19: | 
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Ich kenn mich bei der folgenden Aufgabe vorn und hinten nicht aus... Kann mir die bitte wer ausrechnen... Ich brauch das wirklich dringend... ein bisschen erklärung wär auch net schlecht... In der Zeichnung ist der 10ner die obere begrenzung und der neuner der parrallele Strich darunter...
1)
In der untenstehenden Figur ist der Querschnitt eines bezüglich der y-Achse rotationssymetrischen, massiven Werkstücks gegeben. Ein Teil der Berandung des Querschnitts ist der Graph Gh der Funktion h(x)=3*(wurzel aus (x-1)) mit X element [1;10]
a) Berechne den Flächeninhalt des Querschnitts
b) Begründe dass
10^2*PI+ Integral von(0bis9): (1+ 1/9x^2)^2*PI dx
das Volumen des Werkstückes ist und berechne!
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Raphael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 00:38: |
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Hallo Thomas
zu a.)
1.Integrationsgrenze:bei welchem x ist h(x) =9 :
(y/3)^2+1=x
bei x=10 ist h(x) = 9
Die Fläche des Querschnitts ist 2*(Rechteck von Punkt (0/0) bis Punkt (10/10)
- integral (von 1bis 10) h(x)dx) )
Die Stammfunktion von h(x) ist H(x)=2*(x-1)^(3/2)
Damit ist die Fläche unter der Funktion (grenzen einsetzen)
2*(9)^(3/2)+2*(0)=54
Also Gesamtfläche
F = 2(100-54)=92 Flächeneinheiten
b.)
Für das Volumen kippen wir am besten das Koordinatensystem um 90°
Wenn wir jetzt bei der vorher schon berechneten funktion x(y)=1+1/9y^2
X und y vertauschen erhalten wir die Umkehrfunktion y(x) = 1+1/9x^2
Jetzt kannst Du eine nützliche Formel für Rotationkörper (die durch eine um die x-Achse rotierende Funktion f(x) gebildet werden) verwenden:
V = pi *integral von a nach b (f(x)^2)dx
Wenn du jetzt y(x) =1+1/9x^2 statt f(x) einsetzt und das Volumen des ehemals oberen Randkörpers V2 =r^2*pi*h mit r = 10, h=1 dazuaddierst, kommst Du auf die angegebene Formel!
Beachte: die Grenzen für das Integral sind jetzt natürlich 0 und 9
Die Stammfunktion für f(x)= (1+1/9x^2)^2 ist
F(x) =1/405*x^5 +2/27*x^3+x
Damit solltest du jetzt das Integral bzw das Gesamtvolumen eigentlich selber ausrechnen können !!
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