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Beitrag |
    
Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 21:49: | 
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Hallo
Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe über Ellipsen
behilflich sein ?
Eine beliebige Tangente t der Ellipse (Berührungspunkt P1)
b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 (a >b) bildet mit der
Verbindungsgeraden g = F1 P1
(F1 ist der bezüglich P1 nähergelegne Brennpunkt der Ellipse)
den Winkel alfa ;
beta sei der Winkel von t mit der x- Achse.
Man weise nach, dass der absolute Betrag des Quotienten
cos (alfa) / cos (beta)
eine Konstante ist. Man berechne diese Konstante.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
MfG
Erich L.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 09:45: |
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Hi Erich,
Vorerst sind ein paar Begriffe und Bezeichnungen einzuführen
Wegen a > b liegen die Brennpunkte auf der x-Achse
Mit e sei die lineare Exzentrizität bezeichnet, welche durch die
Relation
e^2 = a^2 – b^2 mit den Halbachsen a, b verknüpft ist
Wir werden mit dem Brennpunkt F1 arbeiten, dessen x-Koordinate
mit e übereinstimmt, mithin gilt .F1(e/0).
Mit epsilon wird die numerische Exzentrizität der Ellipse bezeichnet
Es gilt die Beziehung
epsilon = e / a
Wir werden nachweisen:
die in Deiner Aufgabe erwähnte Konstante stimmt justement mit
epsilon überein; es gilt die bemerkenswerte Aussage
[ cos (alpha) / cos (beta) ] ^ 2 = ( epsilon ) ^ 2
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1.Teil
Wir berechnen cos(alpha), wobei alpha den Winkel zwischen der
Tangente t mit Berührpunkt P1(x1/y1) und dem Brennstrahl F1 P1
darstellt.
Die Gleichung der Ellipsentangente in P1 gewinnt man
durch Polarisation der Ellipsengleichung ; es entsteht
die Gleichung b^2 x1 x + a^2 y1 y = a^2 b^2, der wir
die Steigung
m1 = tan (beta) = - b^2 x1 / (a^2 y1) von t entnehmen;
beta ist der Richtungswinkel von t.
Der Brennstrahl F1 P1 hat die Steigung
m2 = tan (phi) = y1 / (x1 – e) ;
phi ist der Richtungswinkel von g = F1 P1
Aus beta und phi berechnen wir den Schnittwinkel alpha
von t und g als Summe:
alpha = beta + phi; wir nehmen beiderseits den Tangens:
tan (alpha) = tan [beta + phi], mit dem Additionstheorem
des Tangens entsteht daraus:
tan (alpha) = tan [beta + phi]
= [tan(beta) + tan(phi)] / [ 1 – tan(beta) * tan(phi) ];
setzt man rechts die obigen Werte ein, und verwandelt man
den entstehenden Doppelbruch in einen einfachen, so kommt
tan(alpha) = [b^2 x1 (x1-e) + y1^2 a^2] / [a^2 y1(x1-e) –b^2x1y1]
Löst man im Zähler die Klammer auf, so erscheint der Term
T = b^2 x1^2 + a^2 y1^2 ; da P1(x1/y1) auf der Ellipse liegt,
kann T durch a^2 b^2 ersetzt werden.
Klammert man für einen Teil des Nenners x1y1 aus, so
taucht in der Klammer a^2 – b^2 auf; wir ersetzen diesen Ausdruck
sofort durch e^2. Diese Manipulationen führen auf
tan(alpha) = [ b^2 *(a^2 – e x1)] / [ e y1 ( e x1 – a^2]
Es geschehen Zeichen und Wunder: wir können kürzen
Damit wir keine Vorzeichentroubles bekommen, quadrieren wir:
{ tan(alpha)}^2 = b^4 / ( e^2 * y1^2)
Daraus lässt sich mit der Formel
{ cos(alpha)}^2 = 1 / [1 + {tan (alpha) }^2 ]
{ cos(alpha) }^ 2 berechnen ;
wir erhalten:
{ cos(alpha) }^ 2 = [ e^2 * y1^2] / [e^2 * y1^2 + b^4]….(I)
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2.Teil
Wir berechnen cos(beta),wobei beta mit dem Richtungswinkel
der Tangente übereinstimmt.
Wir kennen bereit den Tangens m1 dieses Winkels
m1 = tan (beta) = - b^2 x1 / (a^2 y1)
Mit der oben erwähnten Formel berechnen wir
{cos(beta)}^2 = [a^4 * y1^2] / [a^4 y1^2 + b^4 x1^2 ],
darin ersetzen wir mit Hilfe der Ellipsengleichung
b^2 * x1^2* a^2 * (b^2 – y1^2) ;
es entsteht nach Vereinfachungen :
{cos(beta)}^2 = [a^2 * y1^2] / [b^4 + y1^2 (a^2 – b^2)]
{ cos(alpha) }^ 2 = [a^2 * y1^2] / [b^4 + y1^2 e^2]………………(II)
Konfrontiert man Gleichung (II) mit Gleichung (I), indem
man ihren Quotient bildet, so erhält man:
{cos(alpha)}^ 2 /{cos(beta)}^ 2 = e^2 / a^2 = (epsilon)^2
wie behuptet.
Die Herleitung ist erfolgreich abgeschlossen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Erich L.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 07:32: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Besten Dank für Deine ausführliche Lösung !
Ich habe zur Aufgabe noch eine allgemeine Frage.
Gilt die Formel auch für die übrigen Kegelschnitte ?
Ein Antwort würde mich sehr interessieren.
Danke im Voraus.
mfG
Erich
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 08:15: |
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Hi Erich,
Die für die Ellipse hergeleitete Formel gilt auch für die
übrigen beiden Kegelschnitte, die Parabel und die Hyperbel.
Für die Parabel ist die numerische Exzentrizität epsilon = 1
zu setzen ; aus der Kosinusformel entsteht schliesslich ein
bekannter Parabelsatz ,der so lautet:
Die Tangente in einem Punkt einer Parabel halbiert den
Winkel, den der Brennstrahl des Punktes mit der durch ihn
gelegten Parallelen zur Parabelachse bildet.
Bei der Hyperbel gilt epsilon > 1; für die lineare
Exzentrizität e ist e ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 zu setzen
( a und b sind die Halbachsen der Hyperbel ).
Die Herleitung der Formel für die Hyperbel verläuft
mit dieser Modifikation wörtlich gleich.
Möchten wir eine Kreis haben, so setzen wir
epsilon null ein.
Es entsteht eine elementare Aussage zur Kreistangente .
Welche ?
Anregung
Versuche den Satz für die Ellipse nochmals zu beweisen
unter Verwendung der Polargleichung
r = p / [ 1 + epsilon * cos (fi) ].
Der Brennpunkt F1, der dem Scheitel am nächsten liegt ,
ist der Pol des Polarkoordinatensystems (r,fi);
als Polarachse dient die Fokalachse der Ellipse ;
p ist der Parameter der Ellipse, wobei
p = b^2 / a = a * ( 1 – epsilon ^ 2 ) gilt.
MfG
H.R.Moser,megamath.
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