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mira kozakova (mira_k)
Neues Mitglied Benutzername: mira_k
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 07:06: |
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1+q+q²+q³+...= 1/1-q danke! |
Raphael
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 09:23: |
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Hallo Mira! Wahrscheinlich musst Du erst mittels vollständiger Induktion beweisen, dass (1-q^(n+1)/(1-q) = 1+q+q^2+.....q^n ist. n aus IN n=0: (1-q)/(1-q)= 1 (passt) n durch n+1 ersetzen : (1-q^(n+2))/(1-q)= (1-q^(n+1)/(1-q)+ q^(n+1) (1-q^(n+2)) =(1-q^(n+1))+(1-q)*q^(n+1) 1-q^(n+2) = 1-q^(n+1) + q^(n+1) - q^(n+2) = 1-q^(n+2) nun lim n->unendlich ( (1-q^(n+1)/(1-q) = lim n->unendl ( Summe m=0 bis n ( q^m))) Der erste lim ist 1/(1-q), da q<1 (sein muss!!) und damit q^(n+1) verschwindet, der lim der Summe ist natürlich die Summe von m=0 bis unendlich Also ist 1/(1-q) = 1+q^2+...... Anmerkung: Ohne vollst.Induktion Multiplikation mit 1-q: (1-q)*(1+q+q^2+q^3+…..) = 1 1+q+q^2+q^3+……-q(1+q+q^2+q^3………..)=1 übereinander: 1+q+q^2+q^3+….. -q-q^2-q^3-…….. =1 (Man sieht: Ausser 1 heben sich alle Terme auf) 1=1
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 09:54: |
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Hallo Raphael, da du mich gefragt hast: ich denke (habs nur so 20 Sekunden überflogen), die Idee ist Okay, Rechenweg hätte ich wenigstens hingeschrieben, wann die Induktionsvoraussetzung zum tragen kommt ! q<1 (sein muss!!) Genauer: |q|<1 MUSS GELTEN !!! Andere Methode: http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/ Lade dir das Skript herunter, Seite 13; Satz 2.8 Entspricht deiner Anmerkung, ist nur formal etwas schöner ! Oder so(eigentlich im Prinzip fast das selbe): Einfache Herleitung der Formel: Sei s:=1+q+q^2+...+q^n Dann ist s*q=q+q^2+q^3+...+q^(n+1) Also ist sq-s=[q^(n+1)]-1 <=> s(q-1)=[q^(n+1)]-1 <=> s={[q^(n+1)]-1}/(q-1) Nun die Betrachtung mit |q|<1, n gegen Unendlich => fertig. Freundliche Grüße STEVENERKEL |
mira
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 13:13: |
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danke euch!!! lg mira |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:51: |
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No Prob ! Freundliche Grüße STEVENERKEL |