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beweis durch vollständige induktion

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Beweisführung » Archiviert bis 22. Mai 2002 Archiviert bis Seite 6 » beweis durch vollständige induktion « Zurück Vor »

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mira kozakova (mira_k)
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Neues Mitglied
Benutzername: mira_k

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 07:06:   Beitrag drucken

1+q+q²+q³+...= 1/1-q

danke!
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Raphael
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 09:23:   Beitrag drucken

Hallo Mira!
Wahrscheinlich musst Du erst mittels vollständiger Induktion beweisen,
dass
(1-q^(n+1)/(1-q) = 1+q+q^2+.....q^n ist.
n aus IN
n=0:
(1-q)/(1-q)= 1 (passt)
n durch n+1 ersetzen :
(1-q^(n+2))/(1-q)= (1-q^(n+1)/(1-q)+ q^(n+1)
(1-q^(n+2)) =(1-q^(n+1))+(1-q)*q^(n+1)
1-q^(n+2) = 1-q^(n+1) + q^(n+1) - q^(n+2) =
1-q^(n+2)


nun
lim n->unendlich ( (1-q^(n+1)/(1-q) =
lim n->unendl ( Summe m=0 bis n ( q^m)))

Der erste lim ist 1/(1-q), da q<1 (sein muss!!) und damit
q^(n+1) verschwindet,
der lim der Summe ist natürlich die Summe von m=0 bis unendlich
Also ist 1/(1-q) = 1+q^2+......



Anmerkung:
Ohne vollst.Induktion
Multiplikation mit 1-q:
(1-q)*(1+q+q^2+q^3+…..) = 1

1+q+q^2+q^3+……-q(1+q+q^2+q^3………..)=1
übereinander:
1+q+q^2+q^3+…..
-q-q^2-q^3-…….. =1
(Man sieht: Ausser 1 heben sich alle Terme auf)
1=1

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STEVENERKEL
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 09:54:   Beitrag drucken

Hallo Raphael,
da du mich gefragt hast:
ich denke (habs nur so 20 Sekunden überflogen), die Idee ist Okay, Rechenweg hätte ich wenigstens hingeschrieben, wann die Induktionsvoraussetzung zum tragen kommt !


q<1 (sein muss!!)
Genauer:
|q|<1 MUSS GELTEN !!!

Andere Methode:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/
Lade dir das Skript herunter, Seite 13; Satz 2.8
Entspricht deiner Anmerkung, ist nur formal etwas schöner !

Oder so(eigentlich im Prinzip fast das selbe):
Einfache Herleitung der Formel:
Sei s:=1+q+q^2+...+q^n
Dann ist
s*q=q+q^2+q^3+...+q^(n+1)
Also ist
sq-s=[q^(n+1)]-1
<=>
s(q-1)=[q^(n+1)]-1
<=>
s={[q^(n+1)]-1}/(q-1)

Nun die Betrachtung mit |q|<1, n gegen Unendlich => fertig.

Freundliche Grüße
STEVENERKEL
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mira
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 13:13:   Beitrag drucken

danke euch!!!
lg mira
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STEVENERKEL
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 15:51:   Beitrag drucken

No Prob !

Freundliche Grüße
STEVENERKEL

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